京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
上側の曲線 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ が$a$に等しくなる点を$A$，下側の曲線 $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ が$a$に等しくなる点を$B$とおく。$a\geqq 1$なので$A\geqq 0$であり，$$\frac{e^A+e^{-A}}{2}=a,\frac{e^B-e^{-B}}{2}=a$$ である。これを解くと$$A=\log (a+\sqrt{a^2-1}),B=\log (a+\sqrt{a^2+1})$$である。

$0\leqq x\leqq A$では，水平線$y=a$は上側の曲線より上にあるので，領域の高さは $$\frac{e^x+e^{-x}}{2}-\frac{e^x-e^{-x}}{2}=e^{-x}$$ である。$A\leqq x\leqq B$では，上側は水平線$y=a$になり，領域の高さは $a-\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ である。したがって $$S_a={\int }_0^A{e}^{-x}dx+{\int }_A^B(a-\frac{e^x-e^{-x}}{2})dx$$ である。

計算すると $${\int }_0^A{e}^{-x}dx=1-e^{-A}$$ であり，$e^A=a+\sqrt{a^2-1}$より $$e^{-A}=a-\sqrt{a^2-1}$$ である。また$${\int }_A^B(a-\frac{e^x-e^{-x}}{2})dx=a(B-A)-{\left[\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right]}_A^B$$である。ここで $$\frac{e^A+e^{-A}}{2}=a,\frac{e^B+e^{-B}}{2}=\sqrt{a^2+1}$$ なので，$${\int }_A^B(a-\frac{e^x-e^{-x}}{2})dx=a(B-A)-\sqrt{a^2+1}+a$$ である。

以上を合わせると $$S_a=1+\sqrt{a^2-1}-\sqrt{a^2+1}+a(B-A)$$ であり，$$B-A=\log \frac{a+\sqrt{a^2+1}}{a+\sqrt{a^2-1}}$$ だから$$S_a=1+\sqrt{a^2-1}-\sqrt{a^2+1}+a\log \frac{a+\sqrt{a^2+1}}{a+\sqrt{a^2-1}}$$である。

(2)
まず $$\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1}=\frac{2}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}$$ であるから，$$\sqrt{a^2-1}-\sqrt{a^2+1}\to 0(a\to \mathrm{\infty })$$ である。

次に対数項を調べる。$a$が十分大きいとき，$$R_a=\frac{a+\sqrt{a^2+1}}{a+\sqrt{a^2-1}}>1$$ であり，$0<\log R_a<R_a-1$ である。また$$\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1}=\frac{2}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}<\frac{1}{\sqrt{a^2-1}}\leqq \frac{2}{a}$$が$a\geqq 2$で成り立つ。また$a+\sqrt{a^2-1}>a$だから$$0<R_a-1<\frac{2}{a^2}$$である。よって $$0<a\log R_a<a(R_a-1)<\frac{2}{a}$$ となり，$a\log R_a\to 0$ である。

したがって $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_a=1+0+0=1$$ である。

図は$a=2$の例。$A=\log (a+\sqrt{a^2-1})$，$B=\log (a+\sqrt{a^2+1})$。

水平線の制限を外した無限帯の面積が1であることを上界にする。一方，$0\leqq x\leqq A$の曲線間の帯が$D_a$に含まれることから$1-e^{-A}$を下界とし，はさみうちを用いる。

(1)
面積の式は解法1と同じである。

(2)
水平線$y=a$による制限を外した領域は，$x\geqq 0$で$\sinh x\leqq y\leqq \cosh x$を満たす帯であり，その面積は$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\cosh x-\sinh x)dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx=1$$である。したがって$S_a\leqq 1$である。

一方，$A=\log (a+\sqrt{a^2-1})$とすると，$0\leqq x\leqq A$では水平線$y=a$が上側の曲線$y=\cosh x$以上にあるので，この区間の帯はすべて$D_a$に含まれる。よって$$S_a\geqq {\int }_0^A{e}^{-x}dx=1-e^{-A}$$である。$a\to \mathrm{\infty }$なら$A\to \mathrm{\infty }$であり，$e^{-A}\to 0$だから$$1-e^{-A}\leqq S_a\leqq 1$$にはさみうちを適用して$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_a=1$$を得る。