京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

問1
共通の値を $M$ とおく。すなわち ${2025}^x=3^y=5^z=M$ である。$M>0$ なので対数をとることができる。$A=\log 3$，$B=\log 5$ とおくと，$$\log 2025=\log (3^4\cdot 5^2)=4A+2B$$ であるから $x(4A+2B)=yA=zB=\log M$ である。 $\log M=K$ とおけば $$x=\frac{K}{4A+2B},y=\frac{K}{A},z=\frac{K}{B}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2xy+4xz-yz}& {\displaystyle =K^2(\frac{2}{(4A+2B)A}+\frac{4}{(4A+2B)B}-\frac{1}{AB})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{K^2}{(4A+2B)AB}\{2B+4A-(4A+2B)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$$である。よって $2xy+4xz-yz=0$ が示された。$M=1$ の場合も $K=0$ となるので同じ計算に含まれている。

問2 $n^2+n+3$ で割った余りを求める。$n^2+n+3=0$ とみなして整理すると $n^2\equiv -n-3$ である。したがって $$n^3\equiv n(-n-3)=-n^2-3n\equiv (n+3)-3n=3-2n$$ であり，さらに $$n^4\equiv n(3-2n)=3n-2n^2\equiv 3n+2n+6=5n+6$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n^4+6n^2+23}& {\displaystyle \equiv (5n+6)+6(-n-3)+23}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =11-n}\end{array}$$である。

したがって，条件は $n^2+n+3\mid 11-n$ と同値である。 $n\geqq 12$ のとき，$11-n<0$ であり，$n^2+n+3$ が $11-n$ を割り切るなら，正の数 $n^2+n+3$ は $n-11$ を割り切る。しかし $n^2+n+3>n-11>0$ なので不可能である。

したがって $1\leqq n\leqq 11$ を調べればよい。$3\leqq n\leqq 10$ では $0<11-n<n^2+n+3$ であるから，割り切れることはない。残る $n=1,2,11$ について確認すると，$$n=1:n^2+n+3=5,11-n=10,$$ $$n=2:n^2+n+3=9,11-n=9,$$ $n=11:11-n=0$ であり，いずれも割り切れる。よって求める正の整数は $1,2,11$ である。