京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

放物線 $$C:y=\frac{x^2}{4}$$ の $x=t$ における接線を求める。$C$ の傾きは $y^{\mathrm{\prime }}=x\mathrm{/}2$ であるから、接線は $$y-\frac{t^2}{4}=\frac{t}{2}(x-t)$$ すなわち $$y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4}$$ である。

2本の接線の接点の $x$ 座標を $u,v$ とする。接線の傾きはそれぞれ $u\mathrm{/}2,v\mathrm{/}2$ なので、2直線が直交する条件は $$\frac{u}{2}\cdot \frac{v}{2}=-1$$ であり、$uv=-4$ である。

また、2本の接線 $$y=\frac{u}{2}x-\frac{u^2}{4},y=\frac{v}{2}x-\frac{v^2}{4}$$ の交点の $x$ 座標は、$u\mathrm{\ne }v$ として $$\frac{u-v}{2}x=\frac{u^2-v^2}{4}$$ より $$x=\frac{u+v}{2}$$ である。これが $3\mathrm{/}2$ だから $u+v=3$ である。

したがって $u,v$ は $X^2-3X-4=0$ の2解であり、$u=-1,v=4$ である。対応する接線は $$y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4},y=2x-4$$ であり、交点の $x$ 座標は $3\mathrm{/}2$ である。

接線は放物線の下側にある。左側では $x=-1$ で接する接線、右側では $x=4$ で接する接線が境界になるので、求める面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{3\mathrm{/}2}\{\frac{x^2}{4}-(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})\}dx+{\int }_{3\mathrm{/}2}^4\{\frac{x^2}{4}-(2x-4)\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{(x+1{)}^2}{4},\frac{x^2}{4}-2x+4=\frac{(x-4{)}^2}{4}$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{3\mathrm{/}2}\frac{(x+1{)}^2}{4}dx+{\int }_{3\mathrm{/}2}^4\frac{(x-4{)}^2}{4}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[\frac{(x+1{)}^3}{12}\right]}_{-1}^{3\mathrm{/}2}+{\left[\frac{(x-4{)}^3}{12}\right]}_{3\mathrm{/}2}^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(5\mathrm{/}2{)}^3}{12}+\frac{(5\mathrm{/}2{)}^3}{12}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{125}{48}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は $\frac{125}{48}$ である。

接点を $u<v$ とすると、直交条件と交点の横座標から $uv=-4,u+v=3$ を得る。放物線と接線の差は $(x-u{)}^2\mathrm{/}4$ または $(x-v{)}^2\mathrm{/}4$ で、交点の横座標は接点の中点である。接点間隔 $d=v-u$ だけで面積が $d^3\mathrm{/}48$ と表せる。

接点の $x$ 座標を $u<v$ とする。$x=t$ における接線は$$y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4}$$である。2接線の傾きの積が $-1$ なので$$\frac{u}{2}\cdot \frac{v}{2}=-1,uv=-4.$$また2接線の交点の $x$ 座標は $(u+v)\mathrm{/}2$ であり、これが $3\mathrm{/}2$ だから$$u+v=3.$$したがって $u,v$ は $T^2-3T-4=0$ の2解で、$$u=-1,v=4.$$一般に、放物線と $x=t$ における接線の差は$$\frac{x^2}{4}-(\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4})=\frac{(x-t{)}^2}{4}$$である。$m=(u+v)\mathrm{/}2$, $d=v-u$ とおくと、左右の面積は等しく、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_u^m\frac{(x-u{)}^2}{4}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot \frac{1}{4}{\left[\frac{(x-u{)}^3}{3}\right]}_u^m}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{d^3}{48}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $d=4-(-1)=5$ だから$$S=\frac{5^3}{48}=\frac{125}{48}\mathrm{.}$$