京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

曲線 $y=-1\mathrm{/}x$ と直線 $ax+by=1$ の交点を考える。交点では $y=-\frac{1}{x}$ であるから、直線の式に代入して $ax-b\frac{1}{x}=1$ となる。$x\mathrm{\ne }0$ なので両辺に $x$ をかけると $a{x}^2-x-b=0$ である。

この二次方程式の2解を $x_1,x_2$ とする。$a,b>0$ より積 $x_1{x}_2=-b\mathrm{/}a<0$ であるから、2つの交点は一方が $x<0,y>0$、もう一方が $x>0,y<0$ にある。したがって問題の $P,Q$ に対応している。

解と係数の関係より $$x_1+x_2=\frac{1}{a},x_1{x}_2=-\frac{b}{a}$$ である。また交点の $y$ 座標は $-1\mathrm{/}{x}_1,-1\mathrm{/}{x}_2$ だから、線分 $PQ$ の中点 $M=(X,Y)$ は $$X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2a}$$ であり、$$Y=\frac{1}{2}(-\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})=-\frac{x_1+x_2}{2x_1{x}_2}=\frac{1}{2b}$$である。よって $$M=(\frac{1}{2a},\frac{1}{2b})$$ である。

次に距離比を求める。直線 $L$ と軸との交点は $$R=(\frac{1}{a},0),S=(0,\frac{1}{b})$$ であるから $$RS=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}$$ である。

一方、$$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=\frac{1}{a^2}+\frac{4b}{a}=\frac{1+4ab}{a^2}$$である。また $$-\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1-x_2}{x_1{x}_2}$$ なので、$y$ 座標の差の2乗は $$\frac{(x_1-x_2{)}^2}{(x_1{x}_2{)}^2}=\frac{1+4ab}{b^2}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(1+4ab)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}),}\end{array}$$すなわち $$PQ=\sqrt{1+4ab}RS$$ である。

条件 $PQ\mathrm{/}RS=\sqrt{2}$ より $$\sqrt{1+4ab}=\sqrt{2}$$ である。したがって $ab=\frac{1}{4}$ である。

中点を $M=(X,Y)$ とすると $$X=\frac{1}{2a},Y=\frac{1}{2b}$$ であるから $XY=\frac{1}{4ab}=1$ である。また $a,b>0$ より $X>0,Y>0$ である。

逆に、$X>0,Y>0,XY=1$ を満たす点に対して $$a=\frac{1}{2X},b=\frac{1}{2Y}$$ とおけば $a,b>0$ かつ $ab=1\mathrm{/}4$ となり、上の条件を満たす。したがって求める軌跡は $$xy=1,x>0,y>0$$ である。

中点 $M=(X,Y)$ と半弦ベクトル $(p,q)$ を直接用いる。双曲線上の2端点を $M\pm (p,q)$ とおくと、2つの積の差から弦方向が $(X,-Y)$ と分かる。直線の切片と弦長を同じ $\sqrt{X^2+Y^2}$ で表し、距離比を半弦の倍率に読み替える。

線分 $PQ$ の中点を $M=(X,Y)$ とし、$$P=(X-p,Y-q),Q=(X+p,Y+q)$$とおく。ここでは $P$ を $y>0$ の点とする。

両点が双曲線 $xy=-1$ 上にあるので$$(X-p)(Y-q)=-1,(X+p)(Y+q)=-1.$$2式の差をとると$$Xq+Yp=0.$$したがって半弦ベクトル $(p,q)$ は $(X,-Y)$ と平行であり、ある $\lambda >0$ により$$(p,q)=\lambda (X,-Y)$$と書ける。

また2式の和から$$XY+pq=-1.$$ここに $pq=-{\lambda }^{2}XY$ を代入すると$$\begin{array}{cccc}& XY(1-{\lambda }^2)=-1.& & \text{(1)}\end{array}$$弦 $PQ$ の方向は $(X,-Y)$ だから、その直線は$$Yx+Xy=2XY$$である。よって軸との交点は$$R=(2X,0),S=(0,2Y)$$である。したがって$$PQ=2\lambda \sqrt{X^2+Y^2},RS=2\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{.}$$条件より $\lambda =PQ\mathrm{/}RS=\sqrt{2}$ である。(1)へ代入して$$XY(1-2)=-1,XY=1.$$また $a,b>0$ の直線は正の切片をもち、上の式から $X>0,Y>0$ である。

逆に $X>0,Y>0,XY=1$ とし、$\lambda =\sqrt{2}$ とおけば、点$$(X,Y)\pm \sqrt{2}(X,-Y)$$は $xy=-1$ 上にあり、その弦の軸切片は $(2X,0),(0,2Y)$、長さの比は $\sqrt{2}$ になる。したがって求める軌跡は$$xy=1,x>0,y>0$$である。