京都大学 2022年度
文系数学 第4問

解答

解法1

曲線 $y=-1/x$ と直線 $ax+by=1$ の交点を考える。交点では $y=-\frac{1}{x}$ であるから、直線の式に代入して $ax-b\frac{1}{x}=1$ となる。$x\ne 0$ なので両辺に $x$ をかけると $a{x}^2-x-b=0$ である。

この二次方程式の2解を $x_1,x_2$ とする。$a,b>0$ より積 $x_1{x}_2=-b/a<0$ であるから、2つの交点は一方が $x<0,y>0$、もう一方が $x>0,y<0$ にある。したがって問題の $P,Q$ に対応している。

解と係数の関係より $x_1+x_2=\frac{1}{a},x_1{x}_2=-\frac{b}{a}$ である。また交点の $y$ 座標は $-1/x_1,-1/x_2$ だから、線分 $PQ$ の中点 $M=(X,Y)$ は $X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2a}$ であり、

である。よって $M=\left(\frac{1}{2a},\frac{1}{2b}\right)$ である。

次に距離比を求める。直線 $L$ と軸との交点は $R=\left(\frac{1}{a},0\right),S=\left(0,\frac{1}{b}\right)$ であるから $RS=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}$ である。

一方、

である。また $-\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1-x_2}{x_1{x}_2}$ なので、$y$ 座標の差の2乗は $\frac{(x_1-x_2{)}^2}{(x_1{x}_2{)}^2}=\frac{1+4ab}{b^2}$ である。したがって

すなわち $PQ=\sqrt{1+4ab}RS$ である。

条件 $PQ/RS=\sqrt{2}$ より $\sqrt{1+4ab}=\sqrt{2}$ である。したがって $ab=\frac{1}{4}$ である。

中点を $M=(X,Y)$ とすると $X=\frac{1}{2a},Y=\frac{1}{2b}$ であるから $XY=\frac{1}{4ab}=1$ である。また $a,b>0$ より $X>0,Y>0$ である。

逆に、$X>0,Y>0,XY=1$ を満たす点に対して $a=\frac{1}{2X},b=\frac{1}{2Y}$ とおけば $a,b>0$ かつ $ab=1/4$ となり、上の条件を満たす。したがって求める軌跡は $xy=1,x>0,y>0$ である。

解法2

線分 $PQ$ の中点を $M=(X,Y)$ とし、

とおく。ここでは $P$ を $y>0$ の点とする。

両点が双曲線 $xy=-1$ 上にあるので

2式の差をとると

したがって半弦ベクトル $(p,q)$ は $(X,-Y)$ と平行であり、ある $\lambda >0$ により

と書ける。

また2式の和から

ここに $pq=-{\lambda }^{2}XY$ を代入すると

弦 $PQ$ の方向は $(X,-Y)$ だから、その直線は

である。よって軸との交点は

である。したがって

条件より $\lambda =PQ/RS=\sqrt{2}$ である。(1)へ代入して

また $a,b>0$ の直線は正の切片をもち、上の式から $X>0,Y>0$ である。

逆に $X>0,Y>0,XY=1$ とし、$\lambda =\sqrt{2}$ とおけば、点

は $xy=-1$ 上にあり、その弦の軸切片は $(2X,0),(0,2Y)$、長さの比は $\sqrt{2}$ になる。したがって求める軌跡は

である。