京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

実数係数の2次式を $f(x)=u{x}^2+vx+w$ とおく。ただし，右辺に4次項があるので $u\mathrm{\ne }0$ である。 $f(f(x))$ は $$f(f(x))=u(u{x}^2+vx+w{)}^2+v(u{x}^2+vx+w)+w$$ である。まず4次係数を比較する。右辺の4次係数は $u^3$ であり，左辺の4次係数は $1\mathrm{/}8$ なので $u^3=\frac{1}{8}$ である。実数 $u$ についてこれを解くと $u=\frac{1}{2}$ である。

次に3次係数を比較する。右辺の3次係数は $u\cdot 2uv=2u^{2}v$ である。$u=1\mathrm{/}2$ を用いると $$2u^{2}v=\frac{v}{2}$$ だから $$\frac{v}{2}=a$$ すなわち $v=2a$ である。

次に1次係数を見る。左辺には1次項がない。右辺の1次係数は，$u(u{x}^2+vx+w{)}^2$ から出る $2uvw$ と，$v(u{x}^2+vx+w)$ から出る $v^2$ の和である。$u=1\mathrm{/}2$ より $2uvw+v^2=vw+v^2=v(w+v)$ であるから $v(w+v)=0$ が必要である。

場合1：$v=0$
このとき $v=2a$ より $a=0$ である。2次係数を比較すると，右辺の2次係数は $\frac{1}{2}w$ となるので $$b=\frac{w}{2}$$ である。$w$ は任意の実数を取りうるから，$b$ も任意の実数を取りうる。したがってこの場合は $a=0$ 上のすべての点が得られる。

場合2：$w=-v$
このとき $v=2a$ なので $w=-2a$ である。2次係数を比較する。右辺の2次係数は $u(v^2+2uw)+uv$ である。$u=1\mathrm{/}2$ を代入すると $\frac{1}{2}{v}^2+\frac{1}{2}w+\frac{1}{2}v$ である。$w=-v$ だから後ろ2項は打ち消し合い，$$b=\frac{1}{2}{v}^2=\frac{1}{2}(2a{)}^2=2a^2$$ となる。

逆に，$a=0$ の場合は上の係数を満たす $f$ が取れ，$b=2a^2$ の場合も $u=1\mathrm{/}2$，$v=2a$，$w=-2a$ とすれば，4次，3次，2次，1次係数が一致する。残る定数項の差は問題の $c$ で調整できる。

したがって条件を満たす点全体は $$a=0\text{ 上の全点と，放物線 }b=2a^2\text{ 上の全点}$$ である。座標平面上では，$b$ 軸全体と，上に開く放物線 $b=2a^2$ の和集合として図示すればよい。

得られた集合を図示すると次のようになる。赤い直線は $a=0$ の全体、青い曲線は $b=2a^2$ であり、原点で交わる。