京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

4点 $O,A,B,C$ は同一平面上にないので，3つのベクトル$$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$$は空間の基底として扱える。そこで，点 $X$ を$$\overrightarrow{OX}=X_1\overrightarrow{OA}+X_2\overrightarrow{OB}+X_3\overrightarrow{OC}$$と表し，その座標を $(X_1,X_2,X_3)$ と書く。

この座標で $$L=(s,0,0),M=(0,t,0),N=(0,0,u)$$ である。$s,t,u$ は0でないので，3点 $L,M,N$ を通る平面は切片形で $$\frac{X_1}{s}+\frac{X_2}{t}+\frac{X_3}{u}=1$$ と表せる。

ここで，固定された点 $P$ を$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$$で定める。すなわち，この座標で $$P=(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$$ である。すると$$\frac{1\mathrm{/}4}{s}+\frac{1\mathrm{/}2}{t}+\frac{3\mathrm{/}4}{u}=\frac{1}{4}(\frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u})$$である。条件より $$\frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}=4$$ だから $$\frac{1\mathrm{/}4}{s}+\frac{1\mathrm{/}2}{t}+\frac{3\mathrm{/}4}{u}=1$$ となる。したがって点 $P$ は平面 $LMN$ 上にある。

この点 $P$ は $s,t,u$ の値を含まず，$O,A,B,C$ だけで定まる一定の点である。よって，条件を満たす範囲で $s,t,u$ が動くとき，すべての平面 $LMN$ は一定の点$$P:\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$$を通る。