京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$O,A,B,C$は同一平面上にないので，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$は一次独立である。距離や角度は使わないから，これらに関する係数を座標として $$O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$$ と表してよい。この係数座標は平行性・交点・共面性を保つ。

このとき，線分$OA$の中点$P$と線分$AB$の中点$Q$は $$P=(\frac{1}{2},0,0),Q=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$$ である。また，$$\overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OC}$$ より $X=(0,0,x)$ であり，$$\overrightarrow{BY}=y\overrightarrow{BC}$$ より $Y=B+y(C-B)=(0,1-y,y)$ である。

直線$PX$の方向ベクトルは $$\overrightarrow{PX}=X-P=(-\frac{1}{2},0,x)$$ であり，直線$QY$の方向ベクトルは $$\overrightarrow{QY}=Y-Q=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}-y,y)$$ である。また，2直線上の点$P,Q$を結ぶベクトルとして $$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0,\frac{1}{2},0)$$ をとる。

2直線が同一平面上にあるための条件は，$\overrightarrow{PX},\overrightarrow{QY},\overrightarrow{PQ}$が同一平面内にあることである。成分で計算すると，この条件は$$\mid \begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& 0& x\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}-y& y\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\mid =0$$である。この行列式は $\frac{y-x}{4}$ であるから，同一平面上にある条件は $x=y$ である。

空間内の2直線がねじれの位置にあるとは，同一平面上にないことをいう。したがって，直線$QY$と直線$PX$がねじれの位置にあるための必要十分条件は $x\mathrm{\ne }y$ である。