問題
座標空間の4点O，A，B，Cは同一平面上にないとする．線分OAの中点をP，線分ABの中点をQとする．実数，に対して，直線OC上の点Xと，直線BC上の点Yを次のように定める．
このとき，直線QYと直線PXがねじれの位置にあるためのに関する必要十分条件を求めよ．
出典：京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
を原点とし，に関する係数を座標として使う。この係数座標でと2直線の方向を表す。2直線が同一平面上にある必要十分条件は，2方向と2直線上の点を結ぶベクトルの3本が一次従属になることであり，行列式からを得る。
解答
は同一平面上にないので，は一次独立である。距離や角度は使わないから，これらに関する係数を座標として と表してよい。この係数座標は平行性・交点・共面性を保つ。
このとき，線分の中点と線分の中点は である。また， より であり， より である。
直線の方向ベクトルは であり，直線の方向ベクトルは である。また，2直線上の点を結ぶベクトルとして をとる。
2直線が同一平面上にあるための条件は，が同一平面内にあることである。成分で計算すると，この条件は
である。この行列式は であるから，同一平面上にある条件は である。
空間内の2直線がねじれの位置にあるとは，同一平面上にないことをいう。したがって，直線と直線がねじれの位置にあるための必要十分条件は である。