京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第2問

$$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$$とおく。4点 $O,A,B,C$ は同一平面上にないから，$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ は一次独立である。

条件より$$\overrightarrow{OD}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}+3\mathbf{c},\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\mathbf{a},\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\mathbf{b}$$である。$R$ は直線 $OD$ 上にあるので，ある実数 $\lambda$ により $$\overrightarrow{OR}=\lambda (\mathbf{a}+2\mathbf{b}+3\mathbf{c})$$ と表せる。

直線 $QR$ と直線 $PC$ の交点を $X$ とする。$X$ が直線 $QR$ 上にあることから，ある実数 $s$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OX}}& {\displaystyle =\overrightarrow{OQ}+s(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s\lambda \mathbf{a}+\{\frac{1}{2}+s(2\lambda -\frac{1}{2})\}\mathbf{b}+3s\lambda \mathbf{c}}\end{array}$$である。一方，$X$ が直線 $PC$ 上にあることから，ある実数 $t$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OX}}& {\displaystyle =\overrightarrow{OP}+t(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-t}{3}\mathbf{a}+t\mathbf{c}}\end{array}$$である。

一次独立性より係数を比較すると$$s\lambda =\frac{1-t}{3},\frac{1}{2}+s(2\lambda -\frac{1}{2})=0,3s\lambda =t$$を得る。第1式と第3式から $$\frac{t}{3}=\frac{1-t}{3}$$ なので $$t=\frac{1}{2},s\lambda =\frac{1}{6}$$ である。したがって $s=1\mathrm{/}(6\lambda )$ であり，これを第2式へ代入すると $$\frac{1}{2}+\frac{1}{6\lambda }(2\lambda -\frac{1}{2})=0$$ となる。整理して$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{12\lambda }=0,\frac{1}{12\lambda }=\frac{5}{6}$$だから $\lambda =\frac{1}{10}$ である。

よって $R$ は線分 $OD$ 上にあり，$$OR:RD=\lambda :(1-\lambda )=\frac{1}{10}:\frac{9}{10}=1:9$$ である。

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を基底とする座標を入れる。直線 $QR$ と直線 $PC$ が交わるなら，$R$ は3点 $P,Q,C$ の定める平面上にある。平面 $PQC$ の方程式に，直線 $OD$ 上の点 $R=(\lambda ,2\lambda ,3\lambda )$ を代入して $\lambda$ を決める。最後に2直線が平行でないことも確認する。

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を基底とし，各点をこの基底に関する座標で表す。すると$$P=(\frac{1}{3},0,0),Q=(0,\frac{1}{2},0),C=(0,0,1)$$である。

3点 $P,Q,C$ を通る平面は，切片形で$$\frac{x}{1\mathrm{/}3}+\frac{y}{1\mathrm{/}2}+\frac{z}{1}=1,\text{すなわち}3x+2y+z=1$$と表される。

一方，$R$ は直線 $OD$ 上にあるから，ある実数 $\lambda$ によって$$R=(\lambda ,2\lambda ,3\lambda )$$と書ける。直線 $QR$ と直線 $PC$ が交わるなら，$R$ は平面 $PQC$ 上になければならない。よって$$3\lambda +2\cdot 2\lambda +3\lambda =1$$であり，$10\lambda =1$，すなわち $\lambda =1\mathrm{/}10$ を得る。

実際，このとき$$\overrightarrow{QR}=(\frac{1}{10},-\frac{3}{10},\frac{3}{10}),\overrightarrow{PC}=(-\frac{1}{3},0,1)$$は平行でない。両直線は同一平面 $PQC$ 上にあり，平行でもないので，確かに交点をもつ。

また $0<\lambda <1$ だから $R$ は線分 $OD$ 上にある。したがって$$OR:RD=\lambda :(1-\lambda )=\frac{1}{10}:\frac{9}{10}=1:9$$である。