京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$O$を原点とし，$A,B$を $$A=(1,0,0),B=(0,1,0)$$ とおく。これは$OA=OB=1$かつ$\mathrm{\angle }AOB={90}^{\circ }$を満たす座標の取り方である。

$\mathrm{\angle }COA=\mathrm{\angle }COB$で，$OA=OB=OC=1$であるから，$C$の$A$方向成分と$B$方向成分は等しい。よって $C=(u,u,w)$ とおける。$OC=1$より $2u^2+w^2=1$ である。

次に角の条件を内積で表す。$\mathrm{\angle }COA$の余弦は $$\frac{\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}}{\mathrm{\mid }OC\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }OA\mathrm{\mid }}=u$$ である。一方，$\mathrm{\angle }ACB$については$$\overrightarrow{CA}=(1-u,-u,-w),\overrightarrow{CB}=(-u,1-u,-w)$$であるから，$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=1-2u$$ である。また $\mathrm{\mid }CA{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }CB{\mathrm{\mid }}^2=2-2u$ なので，$$\cos \mathrm{\angle }ACB=\frac{1-2u}{2-2u}$$ である。条件$\mathrm{\angle }COA=\mathrm{\angle }ACB$より $$u=\frac{1-2u}{2-2u}$$ である。整理すると $2u^2-4u+1=0$ となるから $$u=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ である。

ただし$2u^2+w^2=1$より$2u^2\leqq 1$でなければならない。したがって $$u=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$$ は不適であり，$$u=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ である。よって $w^2=1-2u^2=2\sqrt{2}-2$ となる。

底面$OAB$は直角二等辺三角形で，面積は $\frac{1}{2}$ である。また，$C=(u,u,w)$の底面$z=0$からの高さは$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$である。したがって四面体$OABC$の体積は $$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }}{6}$$ である。ゆえに $\frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{6}$ である。

底面$OAB$を$z=0$に置き，$C$の第3成分の絶対値を高さとして読む。