京都大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

最大値 $X$ が $k$ になる場合を数える。$X=k$ となるためには，番号 $k$ の札を取り，残り2枚は $1,2,\dots ,k-1$ の中から選ばれなければならない。したがって $k$ は $3\leqq k\leqq n$ を満たし，$$P(X=k)=\frac{{}_{k-1}{\mathrm{C}}_2}{{}_n{\mathrm{C}}_3}$$ である。

よって期待値は$$E(X)=\sum _{k=3}^{n}kP(X=k)=\frac{\sum _{k=3}^{n}k{}_{k-1}{\mathrm{C}}_2}{{}_n{\mathrm{C}}_3}$$である。

ここで$$k{}_{k-1}{\mathrm{C}}_2=k\cdot \frac{(k-1)(k-2)}{2}=3\cdot \frac{k(k-1)(k-2)}{6}=3{}_k{\mathrm{C}}_3$$である。したがって $$E(X)=\frac{3\sum _{k=3}^n{}_k{\mathrm{C}}_3}{{}_n{\mathrm{C}}_3}$$ である。

また，恒等式 $$\sum _{k=3}^n{}_k{\mathrm{C}}_3={}_{n+1}{\mathrm{C}}_4$$ が成り立つ。これは，$1,2,\dots ,n+1$ から4個を選び，その最大値を $k+1$ としたとき，残り3個を $1,2,\dots ,k$ から選ぶと考えれば分かる。

よって $$E(X)=\frac{3{}_{n+1}{\mathrm{C}}_4}{{}_n{\mathrm{C}}_3}$$ である。これを整理すると$$\frac{{}_{n+1}{\mathrm{C}}_4}{{}_n{\mathrm{C}}_3}=\frac{{\displaystyle \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}}}{{\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6}}}=\frac{n+1}{4}$$であるから，$$E(X)=\frac{3(n+1)}{4}$$ である。