問題
次の各問に答えよ．
問1 を自然数とする．1個のさいころを回投げるとき，出た目の積が5で割り切れる確率を求めよ．
問2 次の式の分母を有理化し，分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ．
出典：京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜 文系 第1問
方針
解法1（標準解法）
問1は余事象を使い，積が5で割り切れない条件を「 回すべてで5が出ない」と読み替える。問2は とおき，分母を として， を用いながら逆数を 型で探す。積の の係数を比較し，分母に3乗根が残らない形へ整理する。
解法2（場合の数と乗法公式による方法）
問1は全 通りから5が一度も出ない 通りを引く。問2は とおき，まず分母に を掛けて にする。さらに を用い，係数比較をせず乗法公式の積だけで有理化する。
解答
解法1（標準解法）
問1
出た目の積が5で割り切れるためには，少なくとも1回は5の目が出ればよい。したがって，その余事象は ことである。1回の試行で5以外の目が出る確率は であり，各試行は独立であるから，余事象の確率は である。よって求める確率は である。
問2
とおくと， であり，分母は である。分母を有理化するため， となる を求める。
左辺を展開し，， を用いて整理すると
である。これが定数55に等しいための条件は である。この連立方程式を解くと となる。したがって
である。
解法2（場合の数と乗法公式による方法）
問1
さいころを 回投げた結果は全部で 通りあり，どれも同様に確からしい。積が5で割り切れないのは，どの回にも5が出ない場合であり，これは 通りである。したがって求める確率は
である。
問2
とおくと であり，分母は となる。まず
である。また
であり， より である。したがって
よって
である。