京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第1問

問1
出た目の積が5で割り切れるためには，少なくとも1回は5の目が出ればよい。したがって，その余事象は $n\text{ 回とも5以外の目が出る}$ ことである。1回の試行で5以外の目が出る確率は $5\mathrm{/}6$ であり，各試行は独立であるから，余事象の確率は ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ である。よって求める確率は $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ である。

問2 $$t=\sqrt[3]{3}$$ とおくと，$t^3=3$ であり，分母は $$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2t^2+t+5$$ である。分母を有理化するため，$$(2t^2+t+5)(A{t}^2+Bt+C)=55$$ となる $A,B,C$ を求める。

左辺を展開し，$t^3=3$，$t^4=3t$ を用いて整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (2t^2+t+5)(A{t}^2+Bt+C)}& {\displaystyle =(5A+B+2C)t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(6A+5B+C)t+(3A+6B+5C)}\end{array}$$である。これが定数55に等しいための条件は $$5A+B+2C=0,6A+5B+C=0,3A+6B+5C=55$$ である。この連立方程式を解くと $$A=-\frac{9}{2},B=\frac{7}{2},C=\frac{19}{2}$$ となる。したがって$$\frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}=\frac{-9\sqrt[3]{9}+7\sqrt[3]{3}+19}{2}$$である。

問1は全 $6^n$ 通りから5が一度も出ない $5^n$ 通りを引く。問2は $a=\sqrt[3]{3}$ とおき，まず分母に $a^2-2a+4$ を掛けて $11(a^2+1)$ にする。さらに $(a^2+1)(3a-a^2+1)=10$ を用い，係数比較をせず乗法公式の積だけで有理化する。

問1
さいころを $n$ 回投げた結果は全部で $6^n$ 通りあり，どれも同様に確からしい。積が5で割り切れないのは，どの回にも5が出ない場合であり，これは $5^n$ 通りである。したがって求める確率は$$\frac{6^n-5^n}{6^n}=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$である。

問2$$a=\sqrt[3]{3}$$ とおくと $a^3=3$ であり，分母は $2a^2+a+5$ となる。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (2a^2+a+5)(a^2-2a+4)}& {\displaystyle =2a^4-3a^3+11a^2-6a+20}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =11(a^2+1)}\end{array}$$である。また$$(a^2+1)(a^4-a^2+1)=a^6+1=10$$であり，$a^4=3a$ より $a^4-a^2+1=3a-a^2+1$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{55}{2a^2+a+5}}& {\displaystyle =\frac{5(a^2-2a+4)}{a^2+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a^2-2a+4)(3a-a^2+1)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-9a^2+7a+19}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}=\frac{-9\sqrt[3]{9}+7\sqrt[3]{3}+19}{2}$$である。