京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$n$ 回投げた後の列を一つ固定し，そのときの $Y_n$ の偶奇を考える。この列の後ろに，さらに2回の結果を付け加える。追加する2回を $a,b$ と書くと，新しく増える隣接積は $X_{n}a+ab$ である。

追加が $00$ または $01$ のときは $a=0$ なので $X_{n}a+ab=0$ であり，$Y_n$ の偶奇は変わらない。この2通りは全体の確率 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ で起こる。

追加が $10$ または $11$ のときを見る。$10$ では増加分は $X_n$，$11$ では増加分は $X_n+1$ である。$X_n$ が $0,1$ のどちらであっても，$X_n$ と $X_n+1$ の偶奇は逆である。したがって，$10,11$ の2通りのうち一方だけが $Y_n$ の偶奇を反転させ，もう一方は偶奇を保つ。

よって，固定した最初の $n$ 回の列に対して，後ろ2回の4通りを平均すると，$00,01$ からの寄与は「もとの $Y_n$ が奇数である確率」の半分，$10,11$ からの寄与は常に ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。したがって $$p_{n+2}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{4}(n\geqq 2)$$ を得る。

初期値を求める。$n=2$ では $Y_2=X_1{X}_2$ であり，奇数になるのは $11$ のときだけなので $p_2=\frac{1}{4}$ である。$n=3$ では $Y_3=X_1{X}_2+X_2{X}_3$ であり，奇数になる列は $011,110$ の2通りであるから $$p_3=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$ である。

偶数の場合を $n=2m$，奇数の場合を $n=2m+1$ と分ける。どちらの場合も $$a_{m+1}=\frac{1}{2}{a}_m+\frac{1}{4},a_1=\frac{1}{4}$$ を満たす。そこで $b_m={\displaystyle \frac{1}{2}}-a_m$ とおくと $$b_{m+1}=\frac{1}{2}{b}_m,b_1=\frac{1}{4}$$ であるから $$b_m=\frac{1}{2^{m+1}}$$ である。したがって $$a_m=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{m+1}}$$ となる。

以上より、整数 $m\geqq 1$ に対して、$n=2m$ または $n=2m+1$ のとき$$p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{m+1}}$$である。これが求める確率であり、偶数番目とその直後の奇数番目では同じ値をとる。