京都大学 2026年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ は $0 < a < π$ を満たす実数とする．2つの関数 $y = sin (x + a)$ と $y = sin (x - a)$ のグラフの， $- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分が囲む領域を $D_{a}$ とする． $x$ 軸のまわりに $D_{a}$ を1回転してできる立体の体積を求めよ．

出典：京都大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

2曲線の差は $2 cos x sin a$ で，区間内では上下関係が一定である。ただし，回転体の断面は，2曲線の間の縦線分が $x$ 軸をまたぐかどうかで変わる。 $a$ と $π - a$ では上下の曲線が符号反転するだけなので体積は同じであり， $b = min {a, π - a} ≦ π /2$ として計算する。対称性で $x ≧ 0$ の半分を考え， $0 ≦ x ≦ b$ は円板， $b ≦ x ≦ π /2$ は環状断面として積分する。

解答

まず $sin (x + a) - sin (x - a) = 2 cos x sin a$ である。 $- π /2 < x < π /2$ では $cos x > 0$ ，また $0 < a < π$ では $sin a > 0$ なので，常に $sin (x + a) > sin (x - a)$ である。

ここで $b = min {a, π - a}$ とおく。 $a$ を $π - a$ に替えると， $sin (x + π - a) = - sin (x - a), sin (x - (π - a)) = - sin (x + a)$ となり，領域は $x$ 軸に関して反転するだけである。したがって， $x$ 軸まわりの回転体の体積は変わらない。よって $0 < b ≦ \frac{π}{2}$ として計算すればよい。

このとき領域は原点に関して対称である。実際， $x$ を $- x$ に替えると2つの関数は符号を変えて入れ替わる。したがって，体積は $0 ≦ x ≦ π /2$ の部分を計算して2倍すればよい。 $0 ≦ x ≦ b$ では $x - b ≦ 0, x + b ≧ 0$ であり，縦線分は $x$ 軸をまたぐ。このとき外側の半径は $sin (x + b)$ である。なぜなら $sin (x + b) - {- sin (x - b)} = sin (x + b) + sin (x - b) = 2 sin x cos b ≧ 0$ だからである。よって断面積は $π sin^{2} (x + b)$ である。

一方， $b ≦ x ≦ π /2$ では2つの値はともに0以上であるから，断面は環状になる。断面積は $π {sin^{2} (x + b) - sin^{2} (x - b)}$ である。ここで $sin^{2} U - sin^{2} V = (sin U - sin V) (sin U + sin V)$ を用いると， $sin^{2} (x + b) - sin^{2} (x - b) = sin 2 x sin 2 b$ である。

したがって体積 $V$ は

V = 2 π {\int_{0}^{b} sin^{2} (x + b) d x + \int_{b}^{π /2} sin 2 x sin 2 b d x} = 2 π {[\frac{u}{2} - \frac{sin 2 u}{4}]_{b}^{2 b} + sin 2 b [- \frac{cos 2 x}{2}]_{b}^{π /2}} = 2 π {\frac{b}{2} - \frac{sin 4 b - sin 2 b}{4} + \frac{sin 2 b ( 1 + cos 2 b )}{2}} = π b + \frac{3 π}{2} sin 2 b

となる。最後の変形では $sin 4 b = 2 sin 2 b cos 2 b$ を用いた。ここで $b = min {a, π - a}$ だから， $a$ だけを用いて書けば

V = ⎩ ⎨ ⎧ π a + \frac{3 π}{2} sin 2 a π (π - a) - \frac{3 π}{2} sin 2 a (0 < a ≦ \frac{π}{2}), (\frac{π}{2} ≦ a < π)

であり， $a = π /2$ では両式が一致する。

京都大学 2026年度理系数学 第5問

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