京都大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

まず $$\sin (x+a)-\sin (x-a)=2\cos x\sin a$$ である。$-\pi \mathrm{/}2<x<\pi \mathrm{/}2$ では $\cos x>0$，また $0<a<\pi$ では $\sin a>0$ なので，常に $\sin (x+a)>\sin (x-a)$ である。

ここで $b=\min \{a,\pi -a\}$ とおく。$a$ を $\pi -a$ に替えると，$$\sin (x+\pi -a)=-\sin (x-a),\sin (x-(\pi -a))=-\sin (x+a)$$ となり，領域は $x$ 軸に関して反転するだけである。したがって，$x$ 軸まわりの回転体の体積は変わらない。よって $$0<b\leqq \frac{\pi }{2}$$ として計算すればよい。

このとき領域は原点に関して対称である。実際，$x$ を $-x$ に替えると2つの関数は符号を変えて入れ替わる。したがって，体積は $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ の部分を計算して2倍すればよい。 $0\leqq x\leqq b$ では $x-b\leqq 0,x+b\geqq 0$ であり，縦線分は $x$ 軸をまたぐ。このとき外側の半径は $\sin (x+b)$ である。なぜなら $$\sin (x+b)-\{-\sin (x-b)\}=\sin (x+b)+\sin (x-b)=2\sin x\cos b\geqq 0$$ だからである。よって断面積は $\pi {\sin }^2(x+b)$ である。

一方，$b\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では2つの値はともに0以上であるから，断面は環状になる。断面積は $\pi \{{\sin }^2(x+b)-{\sin }^2(x-b)\}$ である。ここで $${\sin }^{2}U-{\sin }^{2}V=(\sin U-\sin V)(\sin U+\sin V)$$ を用いると，$${\sin }^2(x+b)-{\sin }^2(x-b)=\sin 2x\sin 2b$$ である。

したがって体積 $V$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi \{{\int }_0^b{\sin }^2(x+b)dx+{\int }_b^{\pi \mathrm{/}2}\sin 2x\sin 2bdx\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi \{{[\frac{u}{2}-\frac{\sin 2u}{4}]}_b^{2b}+\sin 2b{[-\frac{\cos 2x}{2}]}_b^{\pi \mathrm{/}2}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi \{\frac{b}{2}-\frac{\sin 4b-\sin 2b}{4}+\frac{\sin 2b(1+\cos 2b)}{2}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi b+\frac{3\pi }{2}\sin 2b}\end{array}$$となる。最後の変形では $\sin 4b=2\sin 2b\cos 2b$ を用いた。ここで $b=\min \{a,\pi -a\}$ だから，$a$ だけを用いて書けば$$V=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \pi a+\frac{3\pi }{2}\sin 2a}& (0<a\leqq \frac{\pi }{2}),\\ {\displaystyle \pi (\pi -a)-\frac{3\pi }{2}\sin 2a}& (\frac{\pi }{2}\leqq a<\pi )\end{array}$$であり，$a=\pi \mathrm{/}2$ では両式が一致する。