京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
立方体の向かい合う面を3組に分ける。辺を共有しないのは向かい合う2面だけなので，条件を満たすためには，各向かい合う組で使う色集合が互いに交わらないことが必要十分である。

4色の場合，3組の色集合の大きさは $(1,1,1)\text{または}(2,1,1)$ である。

$(1,1,1)$の場合，3組に異なる3色を割り当てるので $4\cdot 3\cdot 2=24$ 通りである。

$(2,1,1)$の場合，2色を使う組の選び方が3通り，その2色の選び方が${}_4{\mathrm{C}}_2$通り，その2色を向かい合う2面に塗る順序が2通り，残り2組への色の割り当てが2通りである。よって $$3\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 2\cdot 2=72$$ 通りである。

したがって条件を満たす塗り方は $24+72=96$ 通りである。全体の塗り方は$4^6$通りなので $$p_4=\frac{96}{4^6}=\frac{3}{128}$$ である。

(2)
条件を満たさない事象は，辺を共有する2面で同じ色が塗られている組が少なくとも1組あることである。立方体には辺が12本あり，それぞれが辺を共有する2面の組に対応する。

ある1組の隣り合う2面に注目すると，1つ目の面の色が何であっても，2つ目の面が同じ色になる確率は $\frac{1}{n}$ である。したがって，12組のうち少なくとも1組で同色になる確率は，高々 $\frac{12}{n}$ である。よって $$1-\frac{12}{n}\leqq p_n\leqq 1$$ である。はさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n=1$$ である。

立方体を開いた図。同じ記号どうしが向かい合う。