京大 2025年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

6で割り切れる条件を，末位が偶数であることと各桁の和が3の倍数であることに分ける。使う数字は1と2だけなので，末位は必ず2でなければならない。末位を2に固定し，残り $n - 1$ 桁のうち2の個数を $h$ とおくと，桁和は $n + 1 + h$ になる。あとは $h$ の3での剰余条件を満たす二項係数の和を求める。

解答

$X$ が6で割り切れるためには， $X$ が2でも3でも割り切れることが必要十分である。使われる数字は1と2だけなので，2で割り切れるためには末位が2でなければならない。

末位を2に固定する。残りの $n - 1$ 桁のうち，2が出た回数を $h$ とする。このとき残りの桁にある1の個数は $n - 1 - h$ であるから，桁の和は $(n - 1 - h) \cdot 1 + h \cdot 2 + 2 = n + 1 + h$ である。したがって3で割り切れる条件は $n + 1 + h \equiv 0 (m o d 3)$ すなわち $h \equiv - n - 1 (m o d 3)$ である。

よって有利な並びの個数は $A_{n - 1} = \sum_{\begin{array}{c} 0 ≦ h ≦ n - 1 \\ h \equiv - n - 1 (m o d 3) \end{array}}_{n - 1} C_{h}$ である。この値を求めるため，次の形で整理する。 $m = n - 1$ とし， $A_{m} = \sum_{\begin{array}{c} 0 ≦ h ≦ m \\ h \equiv - m - 2 (m o d 3) \end{array}}_{m} C_{h}$ とおく。 $m = 0, 1, 2$ では直接調べて $A_{0} = 0, A_{1} = 1, A_{2} = 1$ である。 $m$ 桁にさらに3桁を加えると，目標となる剰余は3だけずれるので同じである。追加した3桁のうち2が出る個数を $j$ とすると， $j = 0, 3$ の場合はもとの $m$ 桁で同じ剰余を取る必要があり，寄与は $2 A_{m}$ である。 $j = 1, 2$ の場合は，もとの $m$ 桁で残り2つの剰余のどちらかを取る必要があり，その個数の和は $2^{m} - A_{m}$ である。それぞれの選び方は $_{3} C_{1} = 3$ ， $_{3} C_{2} = 3$ 通りなので $A_{m + 3} = 2 A_{m} + 3 (2^{m} - A_{m}) = 3 \cdot 2^{m} - A_{m}$ である。

この漸化式と初期値から $A_{m} = \frac{2^{m} + (- 1)^{m + 1}}{3}$ が成り立つ。実際， $m = 0, 1, 2$ で正しく，この式を右辺に代入すると $3 \cdot 2^{m} - \frac{2^{m} + (- 1)^{m + 1}}{3} = \frac{2^{m + 3} + (- 1)^{m + 4}}{3}$ となり， $m + 3$ でも成り立つ。

したがって有利な並びの個数は $A_{n - 1} = \frac{2^{n - 1} + (- 1)^{n}}{3}$ である。全体の並びは $2^{n}$ 通りで等確率だから，求める確率は $\frac{A_{n - 1}}{2^{n}} = \frac{1}{6} + \frac{(- 1)^{n}}{3 \cdot 2^{n}}$ である。

総評

公式の出題意図は、確率の基本理解に加え、数え方を説明して計算を実行する力を問うとしている。難度6，計算量5。想定時間は20分程度。末位が2であることを先に固定し，残りの2の個数を3で分類するのが中心である。二項係数の剰余類和をそのまま放置せず， $A_{m + 3} = 3 \cdot 2^{m} - A_{m}$ で処理すると高校範囲の組合せだけで閉じられる。 $n = 1$ のときも式は0を与えるため，端の確認にもなっている。 $1 ≦ n ≦ 12$ の全 $2^{n}$ 通りを独立列挙し、導出した確率式とすべて一致した。

出典: 京都大学 2025年度一般選抜数学（文系）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

総評

京都大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問