九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$$ であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3$$ である。

(2) $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 1=3$$ である。したがって、なす角を $\alpha$ とすると$$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$である。$0\leqq \alpha <\pi$ より $$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

(3) $$\overrightarrow{e}=(x,y,z)$$ とおく。長さが $1$ であるから $x^2+y^2+z^2=1$ である。
また $\overrightarrow{e}$ と $\overrightarrow{a}$ とのなす角が $\pi \mathrm{/}4$ なので$$\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{a}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=1\cdot \sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}=1$$である。よって $x+z=1$ を得る。
さらに $\overrightarrow{e}$ と $\overrightarrow{b}$ とのなす角が $\pi \mathrm{/}3$ なので$$\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{b}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=1\cdot 3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。よって $2x+2y+z={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。

まず $x+z=1$ から $z=1-x$ である。これを $2x+2y+z=3\mathrm{/}2$ に代入すると $x+2y+1={\displaystyle \frac{3}{2}}$ となり、$$y={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}$$ である。したがって長さ条件は $$x^2+{({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{x}{2}})}^2+(1-x{)}^2=1$$ となる。整理して $36x^2-36x+1=0$ を得る。よって $$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$$ である。

それぞれに対して $y=1\mathrm{/}4-x\mathrm{/}2$, $z=1-x$ を用いると、$$\overrightarrow{e}=({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}})$$または$$\overrightarrow{e}=({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}})$$である。
\newpage

角条件を二つの平面 $x+z=1$, $2x+2y+z=3\mathrm{/}2$ に直す。
その交線上の点を、単位球の中心に最も近い点
$M=(1\mathrm{/}2,0,1\mathrm{/}2)$ と方向ベクトル $(1,-1\mathrm{/}2,-1)$ で表す。
両者が直交するため、長さ1の条件は平方の和となり、二つの解を対称に得られる。

(1) $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=3.$$(2) $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$$ だから$$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$$0\leqq \alpha <\pi$ より $\alpha =\pi \mathrm{/}4$ である。

(3) $$\overrightarrow{e}=(x,y,z)$$ とする。二つの角条件は$$x+z=1,2x+2y+z={\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。この二平面の交線上の一点として$$M=({\displaystyle \frac{1}{2}},0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$$を取る。交線の方向ベクトルは$$\overrightarrow{v}=(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},-1)$$とできるので$$\overrightarrow{e}=M+s\overrightarrow{v}$$と書ける。ここで$$M\cdot \overrightarrow{v}=0,\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }\overrightarrow{v}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$よって $\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}\mathrm{\mid }=1$ は$${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}{s}^2=1$$と同値であり、$s=\pm \sqrt{2}\mathrm{/}3$ である。したがって$$\overrightarrow{e}=({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}})$$または$$\overrightarrow{e}=({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}})\mathrm{.}$$