九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $k=1$ のとき $1!=1=2^0$ であり、成立する。 $k=m$ で $m!\geqq 2^{m-1}$ が成立すると仮定する。このとき $$(m+1)!=(m+1)m!\geqq (m+1)2^{m-1}$$ である。$m\geqq 1$ だから $m+1\geqq 2$ であり、$$(m+1)2^{m-1}\geqq 2\cdot 2^{m-1}=2^m$$ となる。よって $(m+1)!\geqq 2^m$ である。
数学的帰納法により、すべての正の整数 $k$ について $k!\geqq 2^{k-1}$ が成立する。

(2) $${}_n{\mathrm{C}}_k={\displaystyle \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}$$ である。ここで分子の $k$ 個の因子はいずれも $n$ 以下であるから $$n(n-1)\cdots (n-k+1)\leqq n^k$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{k!}}$$ である。
(1) より $k!\geqq 2^{k-1}$ だから $${\displaystyle \frac{1}{k!}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}$$ であり、$${\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}$$ が示された。

(3)
二項定理より$${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}=1+1+\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}$$である。よって$${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=2+\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}$$となる。
(2) を用いると$${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\leqq 2+\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}$$である。右辺の有限和は、無限等比級数 ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+\cdots$ の一部であり、その和は $1$ である。有限和はこの無限和より小さいので $${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n<2+1=3$$ である。
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(1) は指定どおり帰納法で示す。(2) は組合せの積表示を $n^k$ で割り、
各因子が1以下であることから $1\mathrm{/}k!$ で抑える。(3) では二項展開の
第 $k$ 項を $u_k$ とおき、$k\geqq 2$ で
$u_{k+1}\mathrm{/}{u}_k\leqq 1\mathrm{/}3$ となることから、残りを等比数列で直接抑える。

(1) $k=1$ では $1!=2^0$ である。$m!\geqq 2^{m-1}$ と仮定すると、
$m+1\geqq 2$ より$$(m+1)!=(m+1)m!\geqq (m+1)2^{m-1}\geqq 2^m\mathrm{.}$$したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $k$ で
$k!\geqq 2^{k-1}$ が成り立つ。

(2) 積表示を使うと$${\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}={\displaystyle \frac{1}{k!}}{\displaystyle \frac{n}{n}}{\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\displaystyle \frac{n-2}{n}}\cdots {\displaystyle \frac{n-k+1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{k!}}\mathrm{.}$$ここで積の各因子は $0$ 以上 $1$ 以下である。(1) より$${\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{k!}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}\mathrm{.}$$(3) $n=1$ では左辺は $2$ であり明らかである。$n\geqq 2$ とし、$$u_k={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}(0\leqq k\leqq n)$$とおく。$2\leqq k<n$ なら$${\displaystyle \frac{u_{k+1}}{u_k}}={\displaystyle \frac{n-k}{n(k+1)}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{k+1}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$また $u_2=(n-1)\mathrm{/}(2n)<1\mathrm{/}2$ である。したがって$$\sum _{k=2}^n{u}_k<{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3^2}}+\cdots )={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$二項定理より$${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=u_0+u_1+\sum _{k=2}^n{u}_k<2+{\displaystyle \frac{3}{4}}<3.$$