九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
3直線上にある代表点として $$P_1=(2,3,4),P_2=(3,4,2),P_3=(4,2,3)$$ を取る。これらはすべて $x+y+z=9$ を満たす。さらに$$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(1,1,-2),\overrightarrow{P_1{P}_3}=(2,-1,-1)$$は互いに定数倍でないので、3点は1直線上にはない。したがって、この3点を通る平面は一意に決まり、$\pi :x+y+z=9$ である。

直線 $l_1$ の方向ベクトルは $(3,-5,2)$ であり、成分和は $3-5+2=0$ であるから、$l_1$ は平面 $\pi$ に平行である。代表点 $P_1$ も $\pi$ 上にあるので、$l_1$ は $\pi$ に含まれる。

同様に、$l_2$ の方向ベクトルは $(a^3,-2a,1)$ である。これが $\pi$ に平行であるための条件は $a^3-2a+1=0$ である。因数分解すると $a^3-2a+1=(a-1)(a^2+a-1)$ である。

また、$l_3$ の方向ベクトルは $(-2a^2,1,a^3)$ であるから、$l_3$ が $\pi$ に平行であるための条件は $a^3-2a^2+1=0$ である。因数分解すると $$a^3-2a^2+1=(a-1)(a^2-a-1)$$ である。

3直線が同一平面上にあるには、$l_2,l_3$ がともに $\pi$ に含まれる必要がある。したがって $$(a-1)(a^2+a-1)=0,(a-1)(a^2-a-1)=0$$ を同時に満たす必要がある。$a^2+a-1$ と $a^2-a-1$ を同時に0にすると、差を取って $2a=0$ となるが、$a=0$ は $a^2+a-1=0$ を満たさない。よって共通解は $a=1$ のみである。実際 $a=1$ のとき両方の条件を満たし、3直線は $x+y+z=9$ 上にある。

(2)
(1) より平面は $\pi :x+y+z=9$ である。$\pi$ の法線ベクトルは $\vec{n}=(1,1,1)$ であり、$xy$ 平面の法線ベクトルは $\vec{k}=(0,0,1)$ である。2平面のなす角 $\theta$ は、法線ベクトルどうしのなす角の小さい方に等しいから、$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\vec{n}\cdot \vec{k}}{\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{k}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$である。したがって $${\sin }^2\theta =1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}},\tan \theta =\sqrt{2}\mathrm{.}$$ よって$$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{1-2}}=-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$したがって $$\tan 2\theta =-2\sqrt{2}$$ である。

各直線上の既知点3つが作る平面の法線を求め、その法線と各方向ベクトルの内積を0にする。2つの三次式の共通解を差で絞り、法線と z 軸から平面角を求める。

(1)

各直線上の点$$P_1=(2,3,4),P_2=(3,4,2),P_3=(4,2,3)$$は一直線上になく、すべて $x+y+z=9$ 上にある。したがって、3直線が同一平面上にあるなら、その平面は$$\pi :x+y+z=9$$に限る。

$l_2,l_3$ の方向ベクトルと法線 $(1,1,1)$ の内積を0にすると$$a^3-2a+1=0,a^3-2a^2+1=0.$$差を取って$$2a(a-1)=0$$を得る。$a=0$ はどちらの式も満たさず、$a=1$ は両方を満たす。よって$$a=1.$$(2)

$\pi$ と $xy$ 平面の法線は $(1,1,1)$、$(0,0,1)$ だから$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},\tan \theta =\sqrt{2}\mathrm{.}$$したがって$$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{1-2}}=-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$