九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
直線 $l_1$ の共通値を $s$ とする。すると $$2x+a=s,y-2a=s,{\displaystyle \frac{2z+5}{3}}=s$$ より $$x={\displaystyle \frac{s-a}{2}},y=s+2a,z={\displaystyle \frac{3s-5}{2}}$$ である。

同様に、直線 $l_2$ の共通値を $t$ とすると $$x=t,y=t-2a,z=3t+2a-2$$ である。

2直線が交わるとき、同じ点を表す $s,t$ が存在するので $${\displaystyle \frac{s-a}{2}}=t,$$ $s+2a=t-2a,$ $${\displaystyle \frac{3s-5}{2}}=3t+2a-2$$ が成り立つ。第1式から $s=2t+a$、第2式から $s=t-4a$ である。よって $2t+a=t-4a$ すなわち $t=-5a$ であり、$s=-9a$ である。

これを第3式に代入すると $${\displaystyle \frac{-27a-5}{2}}=-15a+2a-2$$ となる。整理して $a=-1$ を得る。したがって $t=5,s=9$ であり、交点は $(5,7,11)$ である。

(2) $a=-1$ のとき、$l_1$ は $s$ が1増えると $(x,y,z)$ が $({\displaystyle \frac{1}{2}},1,{\displaystyle \frac{3}{2}})$ だけ変化する。したがって方向ベクトルとして $(1,2,3)$ を取れる。また $l_2$ の方向ベクトルとして $(1,1,3)$ を取れる。

求める平面に垂直なベクトルを $(A,B,C)$ とすると $A+2B+3C=0,$ $A+B+3C=0$ である。2式を引くと $B=0$ であり、さらに $A=-3C$ である。したがって垂直なベクトルとして $(3,0,-1)$ を取れる。

この平面は交点 $(5,7,11)$ を通るので $3(x-5)-(z-11)=0$ である。よって求める平面の方程式は $3x-z-4=0$ である。

方向ベクトルは固定され、$a=-1$ のとき2直線が同一平面内で交わる

2直線の方向ベクトルから、両方を含む平面の法線方向を先に決める。
各直線上の基準点の差がその平面内にある条件から $a$ を決定する。
その後、2直線の媒介変数を1座標だけで連結して交点を求める。

(1)
2直線の方向ベクトルはそれぞれ$$u=(1,2,3),v=(1,1,3)$$と取れる。両方に垂直なベクトル $n=(A,B,C)$ は$$A+2B+3C=0,A+B+3C=0$$を満たすので、$n=(3,0,-1)$ と取れる。

$l_1,l_2$ 上で媒介変数を0とした点を$$U=(-{\displaystyle \frac{a}{2}},2a,-{\displaystyle \frac{5}{2}}),V=(0,-2a,2a-2)$$とする。方向が平行でない2直線が交わるための条件は、両直線が
同一平面にあること、すなわち$$n\cdot (V-U)=0$$である。計算すると $-(a+1)\mathrm{/}2=0$ だから $a=-1$。
このとき媒介変数を照合すれば交点は$$(5,7,11)$$である。

(2)
法線は $n=(3,0,-1)$ で、交点を通るから平面は$$3(x-5)-(z-11)=0,$$すなわち$$3x-z-4=0$$である。