九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点 $N(0,0,2)$ を通り、方向ベクトル $(a,b,-1)$ に平行な直線なので、媒介変数 $t$ を用いて $(x,y,z)=(at,bt,2-t)$ と表せる。

(2)
球面 $S$ は、中心が $P(0,0,1)$、半径が $1$ であるから $x^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ である。直線の式を代入すると $a^2{t}^2+b^2{t}^2+(1-t{)}^2=1$ となる。整理して $t\{(a^2+b^2+1)t-2\}=0$ を得る。 $t=0$ は点 $N$ に対応する。したがって $N$ 以外の交点 $Q$ は $$t={\displaystyle \frac{2}{a^2+b^2+1}}$$ のときであり、$$Q=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+b^2+1}},{\displaystyle \frac{2b}{a^2+b^2+1}},2-{\displaystyle \frac{2}{a^2+b^2+1}})$$である。

また $xy$ 平面との交点 $R$ は $z=0$ を満たす点である。直線上では $z=2-t$ なので $t=2$ である。よって $R=(2a,2b,0)$ である。

(3)
点 $Q$ が平面 $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 上にある条件は、(2) の $Q$ の $y$ 座標から $${\displaystyle \frac{2b}{a^2+b^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって $a^2+b^2+1=4b$ となる。 $R=(X,Y,0)$ とおくと $X=2a,Y=2b$ である。よって $${\displaystyle \frac{X^2}{4}}+{\displaystyle \frac{Y^2}{4}}+1=2Y$$ となる。両辺を4倍して整理すると $X^2+Y^2+4=8Y$ すなわち $X^2+(Y-4{)}^2=12$ である。

したがって、点 $R$ の描く図形は $xy$ 平面上の円 $x^2+(y-4{)}^2=12$ である。

$N$ から球面上の $Q$ を通して平面へ射影すると $R$ が得られる

(1) (2) は直線の媒介表示で求める。(3) は $Q$ を
$(u,1\mathrm{/}2,w)$ と直接置き、直線 $NQ$ が $z=0$ と交わる比から
$R=(X,Y,0)$ を表す。球面条件へ代入して $u,w$ を消去する。

(1)
直線は$$(x,y,z)=(at,bt,2-t)$$である。

(2)
球面へ代入すると$$t\{(a^2+b^2+1)t-2\}=0.$$$N$ 以外の交点と平面上の交点は$$Q=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+b^2+1}},{\displaystyle \frac{2b}{a^2+b^2+1}},2-{\displaystyle \frac{2}{a^2+b^2+1}}),$$$$R=(2a,2b,0)$$である。

(3)
$Q=(u,1\mathrm{/}2,w)$ と置く。直線 $NQ$ と $z=0$ の交点を
$R=(X,Y,0)$ とすると、内分比から$$X={\displaystyle \frac{2u}{2-w}},Y={\displaystyle \frac{1}{2-w}}\mathrm{.}$$よって $u=X\mathrm{/}(2Y),w=2-1\mathrm{/}Y$。球面条件$$u^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}+(w-1{)}^2=1$$へ代入し、$4Y^2$ を掛けると$$X^2+(Y-4{)}^2=12.$$したがって軌跡は$$x^2+(y-4{)}^2=12$$である。