九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問／理系 第2問

$(1)$ 次のようにおく。$$\overrightarrow{AP}=\mathit{p},\overrightarrow{AB}={\mathit{e}}_1,\overrightarrow{AD}={\mathit{e}}_2\mathrm{.}$$このとき$$\overrightarrow{AC}={\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2,\overrightarrow{AO}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$$K$ は $OP$ の中点だから$$\overrightarrow{AK}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AP})={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AP}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$$M$ は辺 $PC$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ によって$$\overrightarrow{AM}=(1-\lambda )\mathit{p}+\lambda ({\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2)$$と書ける。一方、$$\overrightarrow{AL}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathit{p}+{\mathit{e}}_1),\overrightarrow{AN}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathit{p}+{\mathit{e}}_2)\mathrm{.}$$点 $M$ は平面 $ALN$ 上にあるから$$\overrightarrow{AM}=s\overrightarrow{AL}+t\overrightarrow{AN}$$と表せる。$\mathit{p},{\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$ の係数を比べると$${\displaystyle \frac{s+t}{2}}=1-\lambda ,{\displaystyle \frac{s}{2}}={\displaystyle \frac{t}{2}}=\lambda \mathrm{.}$$よって $s=t=2\lambda$、$2\lambda =1-\lambda$ だから $\lambda =1\mathrm{/}3$ である。したがって$$\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AP}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$断面の位置関係は次のようになる。

$(2)$ 正四角すいの対称性から$$\mathit{p}\cdot {\mathit{e}}_1=\mathit{p}\cdot {\mathit{e}}_2={\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}$$また$$\overrightarrow{LN}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\mathit{e}}_2-{\mathit{e}}_1)\mathrm{.}$$これと $\overrightarrow{AM}$ の内積は0だから、対角線 $AM,LN$ は垂直である。さらに$$\mathrm{\mid }LN\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}},$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }AM{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\mid {\displaystyle \frac{2}{3}}\mathit{p}+{\displaystyle \frac{1}{3}}({\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2)\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{9}}(2b^2+3a^2)\mathrm{.}}\end{array}$$垂直な対角線をもつ四角形の面積は対角線の積の半分だから$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }AM\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }LN\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{a}{6}}\sqrt{3a^2+2b^2}\mathrm{.}$$

底面を座標平面に置き、頂点の高さを $h$ とする。平面 $ALN$ の方程式と辺 $PC$ の媒介表示から $M$ を求め、垂直な対角線で断面積を計算する。

$(1)$ 座標を$$A=(0,0,0),B=(a,0,0),D=(0,a,0),C=(a,a,0)$$とし、$$P=({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}},h)$$とおく。底面の中心は $O=(a\mathrm{/}2,a\mathrm{/}2,0)$ だから$$K=({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{h}{2}})\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{AK}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AP}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$中点は$$L=({\displaystyle \frac{3a}{4}},{\displaystyle \frac{a}{4}},{\displaystyle \frac{h}{2}}),N=({\displaystyle \frac{a}{4}},{\displaystyle \frac{3a}{4}},{\displaystyle \frac{h}{2}})\mathrm{.}$$3点 $A,L,N$ を通る平面は$$z={\displaystyle \frac{h}{2a}}(x+y)$$である。辺 $PC$ 上の点を$$P+u(C-P)=({\displaystyle \frac{a}{2}}(1+u),{\displaystyle \frac{a}{2}}(1+u),h(1-u))$$と表して平面の式へ代入すると$$h(1-u)={\displaystyle \frac{h}{2}}(1+u)\mathrm{.}$$よって $u=1\mathrm{/}3$ であり$$M=({\displaystyle \frac{2a}{3}},{\displaystyle \frac{2a}{3}},{\displaystyle \frac{2h}{3}})\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AP}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$$(2)$ 対角線の長さは$$\mathrm{\mid }LN\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}},\mathrm{\mid }AM\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{2a^2+h^2},$$また座標から $AM\perp LN$ が分かる。ゆえに$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }AM\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }LN\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{a}{3\sqrt{2}}}\sqrt{2a^2+h^2}\mathrm{.}$$一方、$PA=b$ より$$h^2=b^2-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}$$これを代入して$$S={\displaystyle \frac{a}{6}}\sqrt{3a^2+2b^2}\mathrm{.}$$