九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$(1)$ $\alpha =m\mathrm{/}n$ を既約分数とし、$n>0$ とする。$f(\alpha )=0$ の両辺に $n^3$ を掛けると$$m^3+a{m}^{2}n+bm{n}^2+c{n}^3=0.$$したがって$$m^3=-n(a{m}^2+bmn+c{n}^2)\mathrm{.}$$ゆえに $n\mid m^3$ である。ところが $m,n$ は互いに素だから、$n=1$ でなければならない。よって $\alpha =m$ は整数である。

$(2)$ 有理数解があると仮定する。(1)より整数解 $m$ がある。$1,2,\dots ,k$ の中には $m$ と $k$ を法として合同な数 $r$ が一つある。整数係数の整式へ合同な整数を代入した値も合同だから$$f(m)\equiv f(r)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\mathrm{.}$$$f(m)=0$ より $k\mid f(r)$ となり、仮定に反する。したがって有理数解は存在しない。

分母が1でないと仮定し、その素因数を一つ選んで矛盾させる。(2)では $f(m)-f(r)$ が $m-r$ で割り切れるという整式の基本性質を直接用いる。

$(1)$ $\alpha =m\mathrm{/}n$ を既約分数、$n>0$ とする。もし $n>1$ なら、$n$ の素因数 $q$ を一つ取れる。

$f(m\mathrm{/}n)=0$ に $n^3$ を掛けた式$$m^3+a{m}^{2}n+bm{n}^2+c{n}^3=0$$を $q$ で考える。第2項以降はすべて $q$ で割り切れるので、$m^3$ も $q$ で割り切れる。したがって $q\mid m$ となるが、$q\mid n$ でもあるため既約性に反する。よって $n=1$、すなわち $\alpha$ は整数である。

$(2)$ 有理数解があるなら、(1)より整数解 $m$ がある。$m\equiv r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)$ となる $r\in \{1,ldots,k\}$ を選ぶ。

整式の差は$$f(m)-f(r)=(m-r)G$$と書ける。ここで $G$ は整数である。$k\mid (m-r)$ だから$$k\mid \{f(m)-f(r)\}\mathrm{.}$$しかも $f(m)=0$ なので $k\mid f(r)$ となる。これは仮定に反するから、有理数解はない。