九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 理系理系数学 第1問

$(1)$ $\alpha =m\mathrm{/}r$ を既約分数とし、$r>0$ とする。$f(\alpha )=0$ に $r^n$ を掛けると$$m^n+a_1{m}^{n-1}r+\cdots +a_{n-1}m{r}^{n-1}+a_n{r}^n=0.$$よって$$m^n=-r(a_1{m}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}m{r}^{n-2}+a_n{r}^{n-1})\mathrm{.}$$したがって $r\mid m^n$ である。$m,r$ は互いに素だから $r=1$ であり、$\alpha$ は整数である。

$(2)$ 有理数解が存在すると仮定すれば、(1)より整数解 $m$ が存在する。$m\equiv s(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)$ となる $s\in \{1,2,\dots ,k\}$ を選ぶ。係数が整数なので$$f(m)\equiv f(s)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\mathrm{.}$$$f(m)=0$ だから $k\mid f(s)$ となり、仮定に反する。ゆえに有理数解は存在しない。

既約分数の分母が1より大きいと仮定し、その素因数で方程式全体を調べる。(2)は整式の差の因数分解を使って仮定と矛盾させる。

$(1)$ $\alpha =m\mathrm{/}r$ を既約分数とする。$r>1$ と仮定し、$r$ の素因数 $q$ を取る。

$f(m\mathrm{/}r)=0$ に $r^n$ を掛けた式では、最高次の $m^n$ 以外の各項が $r$ を因数にもつ。したがって $q\mid m^n$、ゆえに $q\mid m$ である。しかし $q\mid r$ でもあるから、$m\mathrm{/}r$ が既約であることに反する。よって $r=1$ である。

$(2)$ 有理数解があるとすれば、(1)より整数解 $m$ がある。$m-s$ が $k$ の倍数となる $s\in \{1,ldots,k\}$ を取る。

整数係数の整式について$$f(m)-f(s)=(m-s)H$$と書け、$H$ は整数である。よって $k\mid \{f(m)-f(s)\}$ である。$f(m)=0$ だから $k\mid f(s)$ となり、仮定に反する。したがって有理数解はない。