九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 整数・数と式理系数学 第5問(c)

(1)

2次関数 $y=a{x}^2+bx+c$ のグラフが $x$ 軸と接する条件は $b^2-4ac=0$ である。また $N$ は奇数の平方数なので、一の位 $c$ は $1,5,9$ のいずれかである。 $c=1$ のとき、判別式0は $b^2=4a$ である。したがって $a$ は平方数で、候補は $$(a,b,c)=(1,2,1),(4,4,1),(9,6,1)$$ である。対応する $N$ は $121,441,961$ で、いずれも奇数の平方数である。 $c=5$ のときは $b^2=20a$ であるが、$0\leqq b\leqq 9$、$1\leqq a\leqq 9$ を満たす平方数 $b^2$ は得られない。 $c=9$ のときは $b^2=36a$ である。桁の条件から可能なのは $(a,b,c)=(1,6,9)$ だけであり、$N=169$ は奇数の平方数である。

したがって求める数は $121,169,441,961$ である。

(2)

命題は正しくない。反例として $N=196$ を取る。このとき $N={14}^2$、また百の位は $a=1=1^2$ であり、どちらも平方数である。しかし $$b^2-4ac=9^2-4\cdot 1\cdot 6=81-24=57\mathrm{\ne }0$$ であるから、$y=x^2+9x+6$ のグラフは $x$ 軸と接しない。よって命題は偽である。

(3)

2つの整数根を $\alpha <\beta$ とする。このとき $y=a(x-\alpha )(x-\beta )$ と書ける。$\alpha <x<\beta$ では $y\leqq 0$ だから、囲まれる部分の面積は$${\int }_{\alpha }^{\beta }-a(x-\alpha )(x-\beta )dx={\displaystyle \frac{a}{6}}(\beta -\alpha {)}^3$$である。これが4に等しいので $a(\beta -\alpha {)}^3=24$ である。 $a$ は1桁の正整数、$\beta -\alpha$ は正整数である。$(\beta -\alpha {)}^3$ が24を割る必要があるので $$\beta -\alpha =2,a=3$$ しかない。

根と係数の関係より $$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{3}},\alpha \beta ={\displaystyle \frac{c}{3}}$$ である。$\beta =\alpha +2$ とおくと$$b=-3(2\alpha +2)=-6(\alpha +1),c=3\alpha (\alpha +2)=3\{(\alpha +1{)}^2-1\}\mathrm{.}$$ $0\leqq b\leqq 9$ より、可能なのは $\alpha +1=0$ または $\alpha +1=-1$ である。前者では $c=-3$ となり不適。後者、すなわち $\alpha =-2$、$\beta =0$ のとき $b=6,c=0$ となり条件を満たす。よって $N=360$ である。

2根の間で放物線と $x$ 軸に囲まれる面積

(1) は判別式と平方数の末尾を独立に列挙する。(3)は2根の中点へ平行移動して面積を計算し、根の差と百の位を先に確定してから十・一の位を復元する。

(1)

接する条件は$$b^2=4ac\mathrm{.}$$3桁の奇平方数を ${11}^2$ から ${31}^2$ まで調べ、同時に上式を満たすものを照合すると$$121,169,441,961$$を得る。実際、それぞれの $(a,b,c)$ は$$(1,2,1),(1,6,9),(4,4,1),(9,6,1)$$であり、すべて $b^2=4ac$ を満たす。

(2)

命題は偽である。例えば$$N=196={14}^2,a=1$$だが$$b^2-4ac=9^2-4\cdot 1\cdot 6=57\mathrm{\ne }0.$$(3)

整数根を $\alpha <\beta$、差を $d=\beta -\alpha$ とする。中点を原点へ移すと、根の間の放物線と $x$ 軸の距離は$$a\{{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2-u^2\}\mathrm{.}$$したがって面積は$${\int }_{-d\mathrm{/}2}^{d\mathrm{/}2}a\{{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2-u^2\}du={\displaystyle \frac{a{d}^3}{6}}\mathrm{.}$$これが4なので $a{d}^3=24$。$a$ と $d$ は正整数だから$$a=3,d=2.$$$\beta =\alpha +2$ として根と係数の関係を使うと$$b=-6(\alpha +1),c=3\alpha (\alpha +2)\mathrm{.}$$桁条件 $0\leqq b,c\leqq 9$ を満たすのは $\alpha =-2,\beta =0$ で、$$(a,b,c)=(3,6,0)\mathrm{.}$$よって$$N=360.$$