九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$(1)$ 円 $C_n$ の中心は$$O_n=(p,r_n)$$である。$O_1$ から $2\sqrt{2}x-y=0$ までの距離が $r_1$ だから$${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}p-r_1}{3}}=r_1\mathrm{.}$$よって$$r_1={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}p\mathrm{.}$$$n\geqq 2$ とする。直線 ${\mathrm{\ell }}_n$ は $O_{n-1}$ を通るので$$2\sqrt{2}(x-p)-(y-r_{n-1})=0.$$$O_n$ からこの直線までの距離が $r_n$ だから$${\displaystyle \frac{r_{n-1}-r_n}{3}}=r_n\mathrm{.}$$したがって$$r_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{r}_{n-1}\mathrm{.}$$ゆえに$$r_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}p}{2\cdot 4^{n-1}}}\mathrm{.}$$$(2)$$$S_n=\pi r_n^2={\displaystyle \frac{\pi p^2}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi p^2}{2}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi p^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{16}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8\pi p^2}{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$

直線の傾き角を $\theta$ とし、$\sin \theta ,\cos \theta$ を求める。中心の鉛直方向の差を直線に垂直な方向へ射影して半径比を得る。

$(1)$ 直線 ${\mathrm{\ell }}_1$ と $x$ 軸のなす角を $\theta$ とする。$\tan \theta =2\sqrt{2}$ だから$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}},\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$中心 $O_1=(p,r_1)$ の直線 ${\mathrm{\ell }}_1$ までの垂直距離は$$p\sin \theta -r_1\cos \theta \mathrm{.}$$これが $r_1$ に等しいので$$r_1={\displaystyle \frac{p\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}p\mathrm{.}$$次に、$O_{n-1}$ と $O_n$ の鉛直方向の距離は $r_{n-1}-r_n$ である。これを ${\mathrm{\ell }}_n$ に垂直な方向へ射影した長さが $r_n$ だから$$(r_{n-1}-r_n)\cos \theta =r_n\mathrm{.}$$$\cos \theta =1\mathrm{/}3$ を代入して$$r_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{r}_{n-1}\mathrm{.}$$よって$$r_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}p}{2\cdot 4^{n-1}}}\mathrm{.}$$$(2)$ 面積比は半径比の2乗なので$${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}={\displaystyle \frac{1}{16}},S_1={\displaystyle \frac{\pi p^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって無限等比級数の和は$$S={\displaystyle \frac{S_1}{1-{\displaystyle \frac{1}{16}}}}={\displaystyle \frac{8\pi p^2}{15}}\mathrm{.}$$