九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$x=u$ における接線は $y=2kux-k{u}^2$ である。2接線の交点は$$R=({\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}},k\alpha \beta )\mathrm{.}$$一方、弦 $PQ$ は$$y=k(\alpha +\beta )x-k\alpha \beta$$である。$R$ と同じ $x=(\alpha +\beta )\mathrm{/}2$ での弦の高さとの差は
$k(\beta -\alpha {)}^2\mathrm{/}2$。したがって$$[PQR]={\displaystyle \frac{1}{2}}(\beta -\alpha )\cdot {\displaystyle \frac{k(\beta -\alpha {)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{k(\beta -\alpha {)}^3}{4}}\mathrm{.}$$(2)$$D=(t,k{t}^2)(\alpha <t<\beta )$$ とする。弦と放物線の縦の差は$$k(\alpha +\beta )t-k\alpha \beta -k{t}^2=k(t-\alpha )(\beta -t)\mathrm{.}$$よって$$[PQD]={\displaystyle \frac{k}{2}}(\beta -\alpha )(t-\alpha )(\beta -t)\mathrm{.}$$この積は $t=(\alpha +\beta )\mathrm{/}2$ で最大になり、最大面積は$${\displaystyle \frac{k(\beta -\alpha {)}^3}{8}}$$である。

弦と放物線の縦の隔たりは $k(t-\alpha )(\beta -t)$

弦 $PQ$ の方程式を求め、同じ $x$ 座標における弦と放物線の
縦の隔たりを計算する。三角形の面積は水平幅とこの縦の隔たりの
半積で表せるので、接線交点と動点の両方を同じ式で処理する。

(1)
弦 $PQ$ の方程式は$$y=k(\alpha +\beta )x-k\alpha \beta$$である。2接線の交点 $R$ の $x$ 座標は
$m=(\alpha +\beta )\mathrm{/}2$、$y$ 座標は $k\alpha \beta$。
弦上で $x=m$ となる点と $R$ の縦の隔たりは$${\displaystyle \frac{k(\beta -\alpha {)}^2}{2}}\mathrm{.}$$水平幅は $\beta -\alpha$ だから$$[PQR]={\displaystyle \frac{1}{2}}(\beta -\alpha )\cdot {\displaystyle \frac{k(\beta -\alpha {)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{k(\beta -\alpha {)}^3}{4}}\mathrm{.}$$(2)
$D=(t,k{t}^2)$ とする。同じ $x=t$ における弦と放物線の
縦の隔たりは$$k(\alpha +\beta )t-k\alpha \beta -k{t}^2=k(t-\alpha )(\beta -t)\mathrm{.}$$よって$$[PQD]={\displaystyle \frac{k}{2}}(\beta -\alpha )(t-\alpha )(\beta -t)\mathrm{.}$$和が $\beta -\alpha$ で一定の2正数の積は等しいとき最大だから
$t=(\alpha +\beta )\mathrm{/}2$。最大面積は$${\displaystyle \frac{k(\beta -\alpha {)}^3}{8}}$$である。