九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
まず $$x^3+a{x}^2+bx+c=(x^3+bx)+(a{x}^2+c)$$ と分ける。ここで $x^3+bx$ は奇関数、$a{x}^2+c$ は偶関数である。したがって、その積 $(x^3+bx)(a{x}^2+c)$ は奇関数であり、
対称区間では$${\int }_{-1}^1(x^3+bx)(a{x}^2+c)dx=0$$となる。

よって$${\int }_{-1}^1(x^3+a{x}^2+bx+c{)}^{2}dx={\int }_{-1}^1(x^3+bx{)}^{2}dx+2{\int }_{-1}^1(x^3+bx)(a{x}^2+c)dx+{\int }_{-1}^1(a{x}^2+c{)}^{2}dx$$であるから、$${\int }_{-1}^1(x^3+a{x}^2+bx+c{)}^{2}dx={\int }_{-1}^1(x^3+bx{)}^{2}dx+{\int }_{-1}^1(a{x}^2+c{)}^{2}dx$$を得る。右辺第2項は平方の積分なので $0$ 以上である。したがって$${\int }_{-1}^1(x^3+a{x}^2+bx+c{)}^{2}dx\geqq {\int }_{-1}^1(x^3+bx{)}^{2}dx$$である。

(2) $$I(b)={\int }_{-1}^1(x^3+bx{)}^{2}dx$$とおく。展開すると$$I(b)={\int }_{-1}^1(x^6+2b{x}^4+b^2{x}^2)dx$$である。偶関数の積分なので $$I(b)={\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}b+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}^2$$ となる。

これを平方完成すると $$I(b)={\displaystyle \frac{2}{3}}{(b+{\displaystyle \frac{3}{5}})}^2+I(-{\displaystyle \frac{3}{5}})$$ である。したがって任意の実数 $b$ について $$I(b)\geqq I(-{\displaystyle \frac{3}{5}})$$ が成り立つ。すなわち$${\int }_{-1}^1(x^3+bx{)}^{2}dx\geqq {\int }_{-1}^1{(x^3-{\displaystyle \frac{3}{5}}x)}^{2}dx$$である。

奇関数と偶関数の積は奇関数になり、対称区間で交差項が消える

積分を内積のように扱う。(1) は奇関数部分と偶関数部分の交差項が
消えることを使う。(2) は $x^3-3x\mathrm{/}5$ と $x$ の交差項も
0になることを直接計算し、どちらも平方の積分を加える形にする。

(1)
$u=x^3+bx,v=a{x}^2+c$ とおく。$u$ は奇関数、$v$ は
偶関数だから$${\int }_{-1}^{1}uvdx=0.$$よって$${\int }_{-1}^1(u+v{)}^{2}dx={\int }_{-1}^1{u}^{2}dx+{\int }_{-1}^1{v}^{2}dx\geqq {\int }_{-1}^1{u}^{2}dx\mathrm{.}$$(2)
$w=x^3-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$ とおく。すると$${\int }_{-1}^{1}wxdx={\int }_{-1}^1(x^4-{\displaystyle \frac{3}{5}}{x}^2)dx={\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=0.$$また$$x^3+bx=w+(b+{\displaystyle \frac{3}{5}})x\mathrm{.}$$したがって$${\int }_{-1}^1(x^3+bx{)}^{2}dx={\int }_{-1}^1{w}^{2}dx+{(b+{\displaystyle \frac{3}{5}})}^2{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx\geqq {\int }_{-1}^1{w}^{2}dx\mathrm{.}$$これが求める不等式である。