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九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

a→，b→，c→を空間内の単位ベクトルとし，
任意の単位ベクトルd→に対して，
(a→⋅d→)2+(b→⋅d→)2+(c→⋅d→)2が一定の値kをとるとする．
ただし，s→⋅t→は
ベクトルs→，t→の内積を表す．
このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) kを求めよ．

(2) p→=a→+2b→+3c→のとき，
(a→⋅p→)2+(b→⋅p→)2+(c→⋅p→)2の値を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安20分

ベクトル、論証・証明　内積の利用、座標設定、計算整理

方針

(1) は文系第2問と同じ発想で，互いに直交する3方向を d⃗ に代入して和を取り，k=1 を求める。(2) ではまず d⃗=a⃗,b⃗,c⃗ を代入して，a⃗,b⃗,c⃗ が互いに直交することを示す。すると p⃗=a⃗+2b⃗+3c⃗ との内積は係数だけを拾うので，求める平方和は 12+22+32 になる。

解答

(1) 互いに直交する3つの単位ベクトルを e⃗1,e⃗2,e⃗3 とする。仮定より，これらを d⃗ に代入したときの値はいずれも k である。よって3k=∑i=13{(a⃗⋅e⃗i)2+(b⃗⋅e⃗i)2+(c⃗⋅e⃗i)2}=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+∣c⃗∣2=3である。したがって k=1 である。

(2) (1) より，任意の単位ベクトル d⃗ に対して (a⃗⋅d⃗)2+(b⃗⋅d⃗)2+(c⃗⋅d⃗)2=1 である。

ここで d⃗=a⃗ とすると 1+(b⃗⋅a⃗)2+(c⃗⋅a⃗)2=1 となる。したがって a⃗⋅b⃗=0,a⃗⋅c⃗=0 である。同様に d⃗=b⃗ とすると (a⃗⋅b⃗)2+1+(c⃗⋅b⃗)2=1 となり b⃗⋅c⃗=0 である。よって a⃗,b⃗,c⃗ は互いに直交する。

いま p⃗=a⃗+2b⃗+3c⃗ であるから，直交性と ∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=1 よりa⃗⋅p⃗=a⃗⋅a⃗+2a⃗⋅b⃗+3a⃗⋅c⃗=1である。同様に b⃗⋅p⃗=2,c⃗⋅p⃗=3 である。したがって(a⃗⋅p⃗)2+(b⃗⋅p⃗)2+(c⃗⋅p⃗)2=12+22+32=14である。

別解

解法2（ベクトル p の方向へ恒等式を使う）

方針

単位ベクトル上の一定値から、任意ベクトルに対する平方和恒等式を作る。直交性を確認した後、p 自身を代入する。

解答

(1)
直交単位ベクトル e1,e2,e3 を d に代入した三式を加えると3k=∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2=3.従って k=1 である。

(2)
任意の x≠0 に対して d=x/∣x∣ と置けば(a⋅x)2+(b⋅x)2+(c⋅x)2=∣x∣2.x=a,b を順に代入すると、三ベクトルは互いに直交する。

そこで x=p とすれば、求める値は ∣p∣2 に等しい。直交性より∣p∣2=∣a+2b+3c∣2=12+22+32=14.

総評

難易度は6，計算量は5程度である。想定時間は18分から25分程度。一定値 k を求める部分は，3方向へ成分分解して平方和を足す発想が必要である。(2) は k=1 を使って互いの内積が0になることを先に示すのが本道で，直交性なしに p⃗ との内積を計算しようとすると不要な文字が残る。平方和が0なら各内積が0という論理と，最後に係数 1,2,3 がそのまま出る理由を答案に残したい。 解法2では恒等式をベクトル p 自身の方向へ適用して平方和を直接長さへ帰着する。

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出典: 九州大学 1986年度 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。