九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $n-1$ 回投げた後の点数が偶数である確率は $a_{n-1}$ であり、奇数である確率は $1-a_{n-1}$ である。 $n$ 回目の後に偶数になるのは、次の2通りである。 $\text{偶数点から裏が出る}$ または $\text{奇数点から表が出る}$ である。裏が出る確率は $1-p$、表が出る確率は $p$ なので $$a_n=a_{n-1}(1-p)+(1-a_{n-1})p$$ である。これを整理して $a_n=a_{n-1}(1-2p)+p$ を得る。

(2)
上の漸化式から $$a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}=(1-2p)(a_{n-1}-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。0回投げた時点では点数は $0$ で偶数だから $a_0=1$ である。したがって $a_0-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、等比数列として $$a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-2p{)}^n$$ となる。よって $$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-2p{)}^n$$ である。

(3) $0<p<1$ より $-1<1-2p<1$ である。したがって $(1-2p{)}^n\to 0$ となるので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

表で偶奇が反転し、裏では状態が変わらない

$n$ 回中の表の回数は二項分布に従う。偶数回の項だけを取り出すため、
二項展開で $p$ をそのまま代入した式と、$-p$ を代入した式を
加える。一般項と極限を直接得た後、漸化式にも代入して確認する。

(1)
最後が裏なら直前も偶数、最後が表なら直前は奇数だから$$a_n=(1-p)a_{n-1}+p(1-a_{n-1})=(1-2p)a_{n-1}+p\mathrm{.}$$(2)
$n$ 回中ちょうど $j$ 回表が出る確率は$${}_n{\mathrm{C}}_j{p}^j(1-p{)}^{n-j}$$である。二項展開より$$\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j{p}^j(1-p{)}^{n-j}=1$$であり、また $p$ を $-p$ に替えると$$\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j(-p{)}^j(1-p{)}^{n-j}=(1-2p{)}^n\mathrm{.}$$2式を加えると奇数 $j$ の項が消える。したがって$$a_n={\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$(3)
$0<p<1$ なら $\mathrm{\mid }1-2p\mathrm{\mid }<1$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$