九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$G(x)=kx-{\int }_0^{x}f(s)ds$$を微分すると $G^{\mathrm{\prime }}(x)=k-f(x)$ である。

また $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ なので、$f(x)$ は $x\geqq 0$ で単調に増加する。さらに $f(0)=a<k$ であり$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=b>k$$であるから、十分大きい $x$ では $f(x)>k$ となる。連続性より、ある $x_0>0$ が存在して $f(x_0)=k$ となる。単調増加性により、この $x_0$ はただ1つである。 $0\leqq x<x_0$ では $f(x)<k$ だから $G^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。一方、$x>x_0$ では $f(x)>k$ だから $G^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって $G(x)$ は $x=x_0$ まで増加し、その後減少する。よって $G(x)$ は最大値をもつ。

(2) $f(x)=\log (1+x)$ のとき、(1) の条件は $k>0$ のもとで考える。最大となる点は $\log (1+x)=k$ を満たすので $x=e^k-1$ である。

また$${\int }_0^x\log (1+s)ds={[(1+s)\log (1+s)-(1+s)]}_0^x=(1+x)\log (1+x)-x$$である。

したがって最大値は $k(e^k-1)-\{e^{k}k-(e^k-1)\}$ である。これを整理して $e^k-k-1$ を得る。

$G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-f^{\mathrm{\prime }}<0$ なので、$G^{\mathrm{\prime }}$ が0になる点は唯一の最大点

$G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ から $G$ が上に凸ではなく、傾きが
狭義に減少する関数であることを使う。端での $G^{\mathrm{\prime }}$ の符号から
唯一の最大点を決める。対数の場合は最大点での関係を積分結果へ代入する。

(1) $$G^{\mathrm{\prime }}(x)=k-f(x),G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-f^{\mathrm{\prime }}(x)<0.$$よって $G^{\mathrm{\prime }}$ は狭義減少する。また$$G^{\mathrm{\prime }}(0)=k-a>0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}^{\mathrm{\prime }}(x)=k-b<0.$$連続性から $G^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$ となる点がただ1つあり、その前で
$G^{\mathrm{\prime }}>0$、後で $G^{\mathrm{\prime }}<0$。したがって $G$ は $x_0$ で最大になる。

(2)
$f(x)=\log (1+x)$ では $x_0=e^k-1$。また$${\int }_0^x\log (1+s)ds=(1+x)\log (1+x)-x\mathrm{.}$$よって$$G(x_0)=k(e^k-1)-\{e^{k}k-(e^k-1)\}=e^k-k-1.$$