九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問（理系 第3問）

(1) まず $9<a<10$ であるから $$a>0,a-1>0,\dots ,a-9>0$$ である。したがって $$a_1=a,a_2=a-1,\dots ,a_{10}=a-9$$ である。

次に $a_{11}=\mathrm{\mid }a-9\mathrm{\mid }-1=a-10$ であり，これは $-1<a-10<0$ を満たす。また $$a_{12}=\mathrm{\mid }a-10\mathrm{\mid }-1=10-a-1=9-a$$ であり，これも負である。さらに $\mathrm{\mid }9-a\mathrm{\mid }-1=a-9-1=a-10$ となるので，$a_{11}$ 以後は $a-10,9-a,a-10,9-a,\dots$ が交互に現れる。

よって，$1\leqq n\leqq 10$ では $$S_n=a+(a-1)+\cdots +(a-n+1)=na-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ である。

また $S_{10}=10a-45$ であり，その後の2項の和は $(a-10)+(9-a)=-1$ である。したがって $m=0,1,2,\dots$ として $S_{10+2m}=10a-45-m$ である。さらにその次の項 $a-10$ を足すと $$S_{11+2m}=10a-45-m+(a-10)=11a-55-m$$ となる。

まとめると$$S_n=\{\begin{array}{ll}na-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}& (1\leqq n\leqq 10),\\ 10a-45-m& (n=10+2m,m=0,1,2,\dots ),\\ 11a-55-m& (n=11+2m,m=0,1,2,\dots )\end{array}$$である。

(2) まず $1\leqq n\leqq 10$ では $$S_n=na-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}>9n-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ であり，特に $n\leqq 10$ では正である。したがって $S_n=0$ は $n\geqq 11$ でだけ起こり得る。

偶数側 $n=10+2m$ では $S_{10+2m}=0$ より $$10a-45-m=0,a={\displaystyle \frac{m+45}{10}}$$ である。条件 $9<a<10$ は $90<m+45<100$ すなわち $45<m<55$ である。整数 $m$ の最大は $54$ なので，この場合の $a$ の最大値は $${\displaystyle \frac{54+45}{10}}={\displaystyle \frac{99}{10}}$$ である。

奇数側 $n=11+2m$ では $S_{11+2m}=0$ より $$11a-55-m=0,a={\displaystyle \frac{m+55}{11}}$$ である。条件 $9<a<10$ は $99<m+55<110$ すなわち $44<m<55$ である。整数 $m$ の最大は $54$ なので，この場合の $a$ の最大値は $${\displaystyle \frac{54+55}{11}}={\displaystyle \frac{109}{11}}$$ である。

最後に $${\displaystyle \frac{109}{11}}>{\displaystyle \frac{99}{10}}$$ であるから，求める最大値は ${\displaystyle \frac{109}{11}}$ である。この値では $m=54$，すなわち $n=11+2\cdot 54=119$ で実際に $S_n=0$ となる。

最初の10項を等差数列としてまとめ、その後は和が $-1$ の二項ブロックとして扱う。偶数番目と奇数番目の零条件を比較する。

(1)
$9<a<10$ より最初の10項は$$a,a-1,\dots ,a-9.$$その次は$$a-10,9-a,a-10,9-a,\dots$$であり、二項ごとの和は $-1$ である。従って$$S_n=na-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}(1\leqq n\leqq 10)\mathrm{.}$$また $m=0,1,2,\dots$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{10+2m}}& {\displaystyle =10a-45-m,}\\ {\displaystyle S_{11+2m}}& {\displaystyle =11a-55-m\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$n\leqq 10$ では $S_n>0$ である。偶数側で $S_n=0$ なら$$a={\displaystyle \frac{m+45}{10}},45<m<55,$$なので最大は $m=54$ の $99\mathrm{/}10$ である。奇数側では$$a={\displaystyle \frac{m+55}{11}},44<m<55,$$なので最大は $m=54$ の $109\mathrm{/}11$ である。$${\displaystyle \frac{109}{11}}>{\displaystyle \frac{99}{10}}$$より求める最大値は $109\mathrm{/}11$ であり、このとき $n=119$ で実際に $S_n=0$ となる。