九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1)
まず $a_n>0$ を示す。$a_1=2>0$ である。$k$ が奇数のとき、$a_{n+1}^k=a_n>0$ から $a_{n+1}>0$ である。$k$ が偶数のとき、もしある $a_{n+1}<0$ が起これば、次の式 $a_{n+2}^k=a_{n+1}$ は左辺が $\geqq 0$ なのに右辺が負となり、実数では成り立たない。したがって無限に続く実数列では負の項は出ない。また $a_{n+1}=0$ なら $a_n=0$ となるので、$a_1=2$ に反する。よって $a_n>0(n\geqq 1)$ である。

したがって $$a_{n+1}=a_n^{{\displaystyle \frac{1}{k}}}$$ と書ける。$k=1$ のときは $a_{n+1}=a_n$ だから $a_n=2$ である。 $k\mathrm{\ne }1$ のとき、$a_n=2^{r_n}$ とおくと $$r_1=1,r_{n+1}={\displaystyle \frac{r_n}{k}}$$ である。よって $$r_n={\displaystyle \frac{1}{k^{n-1}}}$$ となり、$$a_n=2^{{\displaystyle \frac{1}{k^{n-1}}}}$$ である。

(2) $k=1$ のときは $a_n=2$ であるから $b_n=2^n$ である。 $k\mathrm{\ne }1$ のとき、$(1)$ より $$b_n=2^{1+{\displaystyle \frac{1}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{k^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{k^{n-1}}}}$$ である。指数部分は等比数列の和なので$$1+{\displaystyle \frac{1}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{k^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{k^{n-1}}}={\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{k}}\right)}^n}{1-{\displaystyle \frac{1}{k}}}}={\displaystyle \frac{k(1-k^{-n})}{k-1}}$$である。したがって $$b_n=2^{{\displaystyle \frac{k(1-k^{-n})}{k-1}}}$$ である。

(3) $c_1=3>0$ であり、$(1)$ と同じ理由で $c_n>0(n\geqq 1)$ である。そこで $d_n={\log }_2{c}_n$ とおく。$c_{n+1}^k=2c_n$ の両辺の2を底とする対数をとると $k{d}_{n+1}=1+d_n$ すなわち $$d_{n+1}={\displaystyle \frac{d_n+1}{k}}$$ である。 $k=1$ のときは $c_{n+1}=2c_n$ だから $c_n=3\cdot 2^{n-1}$ である。 $k\mathrm{\ne }1$ のとき、定数 $L$ が $L=(L+1)\mathrm{/}k$ を満たすように選ぶと $$L={\displaystyle \frac{1}{k-1}}$$ である。よって $$d_{n+1}-L={\displaystyle \frac{1}{k}}(d_n-L)$$ となる。$d_1={\log }_{2}3$ だから$$d_n=L+{\displaystyle \frac{d_1-L}{k^{n-1}}}={\displaystyle \frac{1}{k-1}}+({\log }_{2}3-{\displaystyle \frac{1}{k-1}}){\displaystyle \frac{1}{k^{n-1}}}$$である。したがって$$c_n=2^{{\displaystyle \frac{1}{k-1}}+({\log }_{2}3-{\displaystyle \frac{1}{k-1}}){\displaystyle \frac{1}{k^{n-1}}}}$$である。

$a_n$ は指数だけを追って帰納的に求める。$c_n$ は正の定常値で割ると $a_n$ と同じ漸化式になる。$k=1$ は分母が消えるため最初に分離する。

(1)
実数列がすべての $n$ で続くため、偶数乗の場合にも負の項は現れず、0も $a_1=2$ に反する。よって $a_n>0$ である。

$a_n=2^{{\alpha }_n}$ と置けば$$k{\alpha }_{n+1}={\alpha }_n,{\alpha }_1=1.$$よって$${\alpha }_n={\displaystyle \frac{1}{k^{n-1}}},a_n=2^{1\mathrm{/}{k}^{n-1}}\mathrm{.}$$この式は $k=1$ のときも $a_n=2$ を与える。

(2) $$b_n=a_1{a}_2\cdots a_n=2^{1+1\mathrm{/}k+\cdots +1\mathrm{/}{k}^{n-1}}\mathrm{.}$$したがって$$b_n=\{\begin{array}{ll}{2}^n,& k=1,\\ 2^{k(1-k^{-n})\mathrm{/}(k-1)},& k>1.\end{array}$$(3)
$k=1$ なら $c_{n+1}=2c_n$ だから$$c_n=3\cdot 2^{n-1}\mathrm{.}$$$k>1$ とし、$$L=2^{1\mathrm{/}(k-1)}$$と置くと $L^k=2L$ である。$d_n=c_n\mathrm{/}L$ と置けば$$d_{n+1}^k=d_n,d_1={\displaystyle \frac{3}{L}}\mathrm{.}$$(1)と同じ指数の変化から$$d_n={\left({\displaystyle \frac{3}{L}}\right)}^{1\mathrm{/}{k}^{n-1}}\mathrm{.}$$ゆえに$$c_n=2^{1\mathrm{/}(k-1)}{\left({\displaystyle \frac{3}{2^{1\mathrm{/}(k-1)}}}\right)}^{1\mathrm{/}{k}^{n-1}}\mathrm{.}$$