九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 論証・証明・方程式・不等式理系数学 第3問(b)

(1)
真である。実際、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (xy+1{)}^2-(x+y{)}^2}& {\displaystyle =x^2{y}^2+2xy+1-(x^2+2xy+y^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2{y}^2+1-x^2-y^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-x^2)(1-y^2)}\end{array}$$である。$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1$, $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1$より $1-x^2\geqq 0,1-y^2\geqq 0$ だから $(xy+1{)}^2-(x+y{)}^2\geqq 0$ である。よって $(x+y{)}^2\leqq (xy+1{)}^2$ が成り立つ。

(2)
偽である。反例として $$a=0,b=0,c=1$$ をとる。このとき、すべての実数$x$について $a{x}^2+bx+c=1>0$ である。しかし $b^2-4ac=0$ であり、$b^2-4ac<0$ではない。したがって命題は偽である。

(3)
真である。有理数解を既約分数$p\mathrm{/}q$で表す。ただし$p,q$は整数で$q>0$, $(p,q)=1$とする。これを $x^2+3x+a=0$ に代入して$q^2$を掛けると $p^2+3pq+a{q}^2=0$ である。左辺の後ろ2項は$q$で割り切れるので、$p^2$も$q$で割り切れる。$(p,q)=1$より$q=1$である。したがって有理数解は整数である。

整数解を$p$とすると $p^2+3p+a=0$ より $a=-p(p+3)$ である。$p$と$p+3$は一方が偶数であるから、積$p(p+3)$は偶数である。よって$a$は偶数である。

(1) は平方差でなく $1+xy\pm (x+y)$ を積に分解して絶対値評価する。(2)は最高次係数が0の場合を試す。(3)はモニックな整数係数多項式の有理数解が整数であることを既約分数から示し、偶奇を見る。

(1)
真である。$$1+xy-(x+y)=(1-x)(1-y)\geqq 0,$$$$1+xy+(x+y)=(1+x)(1+y)\geqq 0.$$また $1+xy\geqq 0$ だから$$\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }\leqq 1+xy\mathrm{.}$$両辺を平方して$$(x+y{)}^2\leqq (1+xy{)}^2$$を得る。

(2)
偽である。$$(a,b,c)=(0,0,1)$$なら $a{x}^2+bx+c=1>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つが$$b^2-4ac=0$$である。

(3)
真である。
既約分数 $x=p\mathrm{/}q$ が解なら$$p^2+3pq+a{q}^2=0.$$従って $q\mid p^2$ であり $(p,q)=1$ から $q=1$。よって解は整数 $p$ である。$$a=-p(p+3)\mathrm{.}$$$p$ と $p+3$ は偶奇が異なるので、その積は偶数である。従って $a$ は偶数である。