九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・論証・証明理系数学 第3問(c)

(1) $$\text{あ}=XK,\text{い}=XC,\text{う}=XD\mathrm{.}$$(2)
(i)$$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }DAC=\alpha ,\mathrm{\angle }ABC=\beta ,\mathrm{\angle }ACB=\gamma$$とおく。等しい円周角が対する弧は等しいので、$D$ は弧 $BC$ の中点であり$$DB=DC,\mathrm{\angle }DBC=\alpha \mathrm{.}$$また$$\mathrm{\angle }BDX=\mathrm{\angle }BDA=\mathrm{\angle }BCA=\gamma \mathrm{.}$$$DB=DX$ から$$\mathrm{\angle }DBX={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-\gamma }{2}}=\alpha +{\displaystyle \frac{\beta }{2}}\mathrm{.}$$従って$$\mathrm{\angle }XBC=\mathrm{\angle }DBX-\mathrm{\angle }DBC={\displaystyle \frac{\beta }{2}}\mathrm{.}$$よって $BX$ は $\mathrm{\angle }ABC$ の二等分線であり、(1)より $X$ から $AB,BC$ へ下ろした垂線の長さは等しい。

(ii)
距離が等しい点 $Y$ は、直線 $AB,BC$ のなす角の二等分線上にある。$Y$ は $AD$ を $D$ の先へ延長した側にあるので、$BY$ は $B$ の外角二等分線である。

$BC$ に対する $BD$ の傾きは外側へ $\alpha$、外角二等分線の傾きは外側へ ${90}^{\circ }-\beta \mathrm{/}2$ だから$$\mathrm{\angle }DBY={90}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\beta }{2}}-\alpha ={\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}$$一方、$DY$ は $DA$ の反対向きなので$$\mathrm{\angle }BDY={180}^{\circ }-\gamma ,$$従って$$\mathrm{\angle }BYD={\displaystyle \frac{\gamma }{2}}=\mathrm{\angle }DBY\mathrm{.}$$よって $DY=DB$。仮定 $DX=DB$ と合わせて $DX=DY$ であり、$X,D,Y$ はこの順で一直線上にある。従って $D$ は $XY$ の中点である。

角の二等分線を「2直線からの距離が等しい点の集合」として往復で使う。弧 $BD$ と弧 $DC$ が等しいことから角を整理し、$DB=DX$ と外角二等分線からそれぞれ二等辺三角形を作る。

(1) $$\text{あ}=XK,\text{い}=XC,\text{う}=XD\mathrm{.}$$(2)
(i)$$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }DAC=\alpha ,\mathrm{\angle }ABC=\beta ,\mathrm{\angle }ACB=\gamma$$とおく。$D$ は弧 $BC$ の中点だから$$DB=DC,\mathrm{\angle }DBC=\alpha \mathrm{.}$$また同じ弧 $BA$ に対する円周角より$$\mathrm{\angle }BDX=\mathrm{\angle }BDA=\gamma \mathrm{.}$$$DB=DX$ なので$$\mathrm{\angle }DBX=\mathrm{\angle }BXD={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-\gamma }{2}}=\alpha +{\displaystyle \frac{\beta }{2}}\mathrm{.}$$従って$$\mathrm{\angle }XBC=\mathrm{\angle }DBX-\mathrm{\angle }DBC={\displaystyle \frac{\beta }{2}},$$ゆえに $BX$ は $\mathrm{\angle }ABC$ の内角二等分線である。従って $X$ から $AB,BC$ までの距離は等しい。

(ii)
$Y$ から $AB,BC$ までの距離が等しいため、$Y$ は両直線の角の二等分線上にある。$Y$ は $D$ の先にあるので、$BY$ は $B$ の外角二等分線である。

$BC$ を基準にすれば、$BD$ は外側へ角 $\alpha$、外角二等分線 $BY$ は外側へ角 ${90}^{\circ }-\beta \mathrm{/}2$ 傾く。従って$$\mathrm{\angle }DBY={90}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\beta }{2}}-\alpha ={\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}$$一方、$DY$ は $DA$ の反対向きだから$$\mathrm{\angle }BDY={180}^{\circ }-\gamma \mathrm{.}$$従って$$\mathrm{\angle }BYD={\displaystyle \frac{\gamma }{2}}=\mathrm{\angle }DBY,$$ゆえに$$DY=DB\mathrm{.}$$(i)の条件 $DX=DB$ と合わせて $DX=DY$。$X,D,Y$ はこの順に一直線上にあるから、$D$ は線分 $XY$ の中点である。

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