九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 数列・指数・対数理系数学 第3問(a)

(1)
まず $m=1,2,\dots ,7$ では $2^{m+1}\leqq 4(m+1{)}^2$ であり、第2条件を満たさない。実際、左右の値はそれぞれ $4,8,16,32,64,128,256$ と $16,36,64,100,144,196,256$ である。特に $m=7$ では $$2^7=128\leqq 4\cdot 7^2=196$$ であるが $2^8=256>4\cdot 8^2=256$ は成り立たない。$m=8$では $$2^8=256\leqq 4\cdot 8^2=256$$ であり、さらに $2^9=512>4\cdot 9^2=324$ である。したがって求める最小の自然数は $m=8$ である。

(2)
まず$n=9$では $4n^2=324<512=2^9$ である。次に $$A_n={\displaystyle \frac{2^n}{4n^2}}$$ とおくと $${\displaystyle \frac{A_{n+1}}{A_n}}=2{\left({\displaystyle \frac{n}{n+1}}\right)}^2$$ である。$n\geqq 3$では $2n^2>(n+1{)}^2$ なので $${\displaystyle \frac{A_{n+1}}{A_n}}>1$$ である。したがって$A_n$は$n\geqq 3$で増加する。$A_9>1$であるから、すべての$n\geqq 9$、すなわち$m<n$を満たすすべての自然数$n$について $4n^2<2^n$ が成り立つ。

(3)
$S_n-S_{n-1}=2^n-4n^2$ である。ただし$S_0=0$と見ればよい。(1),(2)より、$n=1,2,\dots ,7$では$2^n-4n^2<0$、$n=8$では $2^8-4\cdot 8^2=0$ であり、$n\geqq 9$では$2^n-4n^2>0$である。したがって$S_n$は$n=7$まで減少し、$n=8$で同じ値を保ち、その後増加する。

よって最小値は$S_7=S_8$である。計算すると $$\sum _{k=1}^7{2}^k=2^8-2=254$$ であり $$\sum _{k=1}^{7}4k^2=4\cdot {\displaystyle \frac{7\cdot 8\cdot 15}{6}}=560$$ である。したがって $S_7=254-560=-306$ である。求める最小値は $-306$ である。

差 $d_n=2^n-4n^2$ を調べる。$d_9>0$ を起点に $d_{n+1}-2d_n=4(n^2-2n-1)>0$ を用いれば、それ以後の正値性を帰納的に示せる。$S_n$ の増減はこの差そのもので決まる。

(1)
$m=1,\dots ,7$ では$$2^{m+1}\leqq 4(m+1{)}^2$$であり、第2条件を満たさない。実際、左辺は$$4,8,16,32,64,128,256$$右辺は$$16,36,64,100,144,196,256$$である。$m=8$ では$$2^8=4\cdot 8^2,2^9=512>324=4\cdot 9^2\mathrm{.}$$従って最小の $m$ は$$m=8.$$(2)$$d_n=2^n-4n^2$$とおくと $d_9=188>0$ である。また $n\geqq 3$ では$$d_{n+1}-2d_n=4(n^2-2n-1)>0.$$従って $d_n>0$ なら $d_{n+1}>2d_n>0$ である。帰納法により、すべての $n\geqq 9$ で$$4n^2<2^n$$が成り立つ。

(3) $$S_n-S_{n-1}=d_n\mathrm{.}$$$d_1,\dots ,d_7<0$, $d_8=0$, $d_n>0(n\geqq 9)$ だから、最小値は $S_7=S_8$ である。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_7}& {\displaystyle =(2^8-2)-4{\displaystyle \frac{7\cdot 8\cdot 15}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =254-560=-306.}\end{array}$$