九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式理系数学 第5問(b)

(1)
接線を $y=mx+n$ とおく。これを双曲線 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ に代入すると $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(mx+n{)}^2}{b^2}}=1$$ である。これは$x$についての2次方程式であり、接するためには重解をもつ必要がある。判別式を0とおくと $n^2=a^2{m}^2-b^2$ を得る。有限の接点をもつには $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }>b\mathrm{/}a$ が必要である。したがって $$n=\pm \sqrt{a^2{m}^2-b^2}$$ である。

(2)
双曲線の焦点は$c^2=a^2+b^2$を満たす。直線$y=mx+n$を $mx-y+n=0$ と書く。焦点$F(c,0)$からこの直線へ下ろした垂線の足を$H$とする。垂線の足の公式を用いると $$H=({\displaystyle \frac{c-mn}{m^2+1}},{\displaystyle \frac{mc+n}{m^2+1}})$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{H}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(c-mn{)}^2+(mc+n{)}^2}{(m^2+1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{c^2+n^2}{m^2+1}}}\end{array}$$である。ここに$c^2=a^2+b^2$と$n^2=a^2{m}^2-b^2$を代入すると $$O{H}^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2+a^2{m}^2-b^2}{m^2+1}}=a^2$$ となる。よって$H$は原点$O$を中心とする半径$a$の円周上にある。同様に$F^{\mathrm{\prime }}(-c,0)$から下ろした垂線の足$H^{\mathrm{\prime }}$についても $O{H}^{\mathrm{\prime }}=a$ であり、$H^{\mathrm{\prime }}$も同じ円周上にある。

(3)
点$H,H^{\mathrm{\prime }}$はいずれも接線$y=mx+n$上にあり、かつ半径$a$の円周上にある。したがって$H{H}^{\mathrm{\prime }}$は、その円を直線$y=mx+n$で切った弦である。原点からこの直線までの距離が$t$なので、弦の長さは $$H{H}^{\mathrm{\prime }}=2\sqrt{a^2-t^2}$$ である。三角形$HO{H}^{\mathrm{\prime }}$の底辺を$H{H}^{\mathrm{\prime }}$と見れば、高さは$t$である。よって $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{a^2-t^2}\cdot t=t\sqrt{a^2-t^2}$$ である。

接線条件$n^2=a^2{m}^2-b^2$より、原点から接線までの距離 $$t={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }}{\sqrt{m^2+1}}}$$ は $0<t<a$ の範囲を動く。実際、接線が漸近線に近づくと$t$は0に近づき、$\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }$を大きくすると$t$は$a$に近づく。

また $S^2=t^2(a^2-t^2)$ である。$u=t^2$とおくと $S^2=u(a^2-u)$ であり、$0<u<a^2$においてこれは$u=a^2\mathrm{/}2$で最大となる。したがって$S$の最大値は ${\displaystyle \frac{a^2}{2}}$ である。

接線を単位法線 $\mathit{\nu }$ と原点からの符号付き距離 $d$ で表す。焦点から直線への射影の長さをベクトルで計算すると、垂足が半径 $a$ の円上にあることが一式で示せる。

(1)
接線を双曲線へ代入した2次方程式が有限の重解をもつ条件は$$n^2=a^2{m}^2-b^2,\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }>{\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{.}$$従って$$n=\pm \sqrt{a^2{m}^2-b^2}\mathrm{.}$$(2)
直線を$$\mathit{\nu }\cdot \mathit{x}+d=0,\mathit{\nu }={\displaystyle \frac{(m,-1)}{\sqrt{m^2+1}}},d={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{m^2+1}}}$$と書く。焦点を $\mathit{F}=(c,0)$ とすると、垂足は$$\mathit{H}=\mathit{F}-(\mathit{\nu }\cdot \mathit{F}+d)\mathit{\nu }\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\mathit{\nu }\mathrm{\mid }=1$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{H}^2}& {\displaystyle =c^2-(\mathit{\nu }\cdot \mathit{F}{)}^2+d^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =c^2-{\displaystyle \frac{c^2{m}^2}{m^2+1}}+{\displaystyle \frac{n^2}{m^2+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{c^2+n^2}{m^2+1}}=a^2\mathrm{.}}\end{array}$$最後に $c^2=a^2+b^2$ と接線条件を用いた。$F^{\mathrm{\prime }}$ についても同様である。

(3)
$H,H^{\mathrm{\prime }}$ は中心 $O$、半径 $a$ の円と接線との2交点である。原点から接線までの距離が $t$ だから$$H{H}^{\mathrm{\prime }}=2\sqrt{a^2-t^2},$$従って$$S=t\sqrt{a^2-t^2}\mathrm{.}$$また$$t^2={\displaystyle \frac{a^2{m}^2-b^2}{m^2+1}}$$より$$0<t<a\mathrm{.}$$$$S^2=t^2(a^2-t^2)\leqq {\left({\displaystyle \frac{a^2}{2}}\right)}^2$$で、等号は $t=a\mathrm{/}\sqrt{2}$ のとき実現する。従って$$\max S={\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}$$\Needspace{9cm}