九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）・方程式・不等式理系数学 第5問(a)

(1)
方程式 $ax=b$ について、$a\mathrm{\ne }0$ならば $$x={\displaystyle \frac{b}{a}}$$ とただ1つに定まる。$a=0$のときは、$b=0$ならばすべての実数$x$が解なので無数の解をもち、$b\mathrm{\ne }0$ならば$0=b$となって不可能なので解をもたない。

(2)
連立方程式を成分で書くと $-3x-2y+z=3$ $(2a+3)x+3y-2z=-2$ $2x+ay-z=1$ である。第1式から $z=3+3x+2y$ である。これを第2式、第3式に代入すると $(2a-3)x-y=4$ $-x+(a-2)y=4$ を得る。この2元連立の係数の行列式は $$(2a-3)(a-2)-1=(a-1)(2a-5)$$ である。したがって $$a\mathrm{\ne }1,a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ のとき、ただ1つの解をもつ。

このとき解くと $$x={\displaystyle \frac{4}{2a-5}},y={\displaystyle \frac{8}{2a-5}}$$ である。さらに $z=3+3x+2y$ より $$z={\displaystyle \frac{6a+13}{2a-5}}$$ である。

(3)
$a=1$のとき、消去後の2式はともに $-x-y=4$ となる。したがって無数の解をもつ。$x=u$とおくと $y=-u-4$ であり $z=3+3u+2(-u-4)=u-5$ である。よって $$x=u,y=-u-4,z=u-5$$ と表される。

(4)
$a=5\mathrm{/}2$のとき、消去後の2式は $2x-y=4$ $-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y=4$ である。第1式の両辺を$-1\mathrm{/}2$倍すると $-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y=-2$ となり、第2式と矛盾する。したがって解をもたない。

以上より、解をもたない条件は $a={\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。

係数行列の行列式とクラメルの公式で分類する。一意解の式を先に求め、行列式が0になる $a=1,5\mathrm{/}2$ では係数行列と拡大行列の階数を代入で比較する。

(1) $$a\mathrm{\ne }0:\text{一意解},a=b=0:\text{無数解},a=0,b\mathrm{\ne }0:\text{解なし}\mathrm{.}$$(2)
係数行列を $A$ とすると$$\det A=(a-1)(2a-5)\mathrm{.}$$従って$$a\mathrm{\ne }1,a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{5}{2}}$$のとき一意解をもつ。未知数の列を定数列で置き換えた行列式は順に$$D_x=4(a-1),D_y=8(a-1),D_z=(6a+13)(a-1)\mathrm{.}$$クラメルの公式より$$x={\displaystyle \frac{4}{2a-5}},y={\displaystyle \frac{8}{2a-5}},z={\displaystyle \frac{6a+13}{2a-5}}\mathrm{.}$$(3)
$a=1$ では $\det A=D_x=D_y=D_z=0$ で、実際に消去すると独立な条件は$$x+y=-4,z=3+3x+2y$$だけである。$x=u$ として$$x=u,y=-u-4,z=u-5.$$(4)
$a=5\mathrm{/}2$ では $\det A=0$ だが$$D_x=6\mathrm{\ne }0.$$従って拡大行列の階数が大きくなり、解をもたない。