九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 微分・数列理系数学 第5問(c)

(1) $$r=\sqrt[k]{c}$$ とおく。$x>0$に対して $$g(x)=x-{\displaystyle \frac{x^k-c}{k{x}^{k-1}}}={\displaystyle \frac{(k-1)x^k+c}{k{x}^{k-1}}}$$ である。 $a_n>r$なら$a_n^k-c>0$なので $$a_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{a_n^k-c}{k{a}_n^{k-1}}}<a_n$$ である。次に$a_{n+1}>r$を示す。$u=a_n\mathrm{/}r$とおくと$u>1$であり、$c=r^k$だから $a_{n+1}>r$ は $${\displaystyle \frac{(k-1)u^k+1}{k{u}^{k-1}}}>1$$ と同値である。すなわち $(k-1)u^k+1>k{u}^{k-1}$ を示せばよい。左辺から右辺を引いたものを $$H(u)=(k-1)u^k-k{u}^{k-1}+1$$ とおくと $H(1)=0$ であり $$H^{\mathrm{\prime }}(u)=k(k-1)u^{k-2}(u-1)>0(u>1)$$ である。よって$u>1$で$H(u)>0$となる。したがって $r<a_{n+1}<a_n$ である。

(2)
$k=3$とし、$$r=\sqrt[3]{c}$$とおく。更新式は $$a_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{a_n^3-r^3}{3a_n^2}}={\displaystyle \frac{2a_n^3+r^3}{3a_n^2}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}-r}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a_n^3+r^3-3r{a}_n^2}{3a_n^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a_n-r{)}^2(2a_n+r)}{3a_n^2}}}\end{array}$$である。

ここで$a_n>r>0$だから $${\displaystyle \frac{2a_n+r}{3a_n^2}}<{\displaystyle \frac{1}{r}}$$ である。実際、これは $r(2a_n+r)<3a_n^2$ すなわち $(a_n-r)(3a_n+r)>0$ と同値である。よって $$a_{n+1}-r<{\displaystyle \frac{1}{r}}(a_n-r{)}^2$$ である。

(3) $$r=\sqrt[3]{2}$$, $e_n=a_n-r$とおく。(2)より $$e_{n+1}<{\displaystyle \frac{e_n^2}{r}}$$ である。これを繰り返すと$$e_2<{\displaystyle \frac{e_1^2}{r}},e_3<{\displaystyle \frac{e_1^4}{r^3}},e_4<{\displaystyle \frac{e_1^8}{r^7}},e_5<{\displaystyle \frac{e_1^{16}}{r^{15}}}$$である。

また ${1.2}^3<2<{1.3}^3$ なので $1.2<r<1.3$ である。したがって $0<e_1=1.3-r<0.1$ である。さらに $r^{15}=(r^3{)}^5=2^5$ だから$$0<a_5-\sqrt[3]{2}=e_5<{\displaystyle \frac{(0.1{)}^{16}}{2^5}}={\displaystyle \frac{1}{2^5\cdot {10}^{16}}}$$である。

(1) では更新式を $k$ 個の正数の相加平均とみて相加・相乗平均を使う。(2)以降は $u_n=a_n\mathrm{/}\sqrt[3]{c}$ と無次元化し、誤差が2乗されることを一つの式で追う。

$$r=\sqrt[k]{c}$$ とおく。

(1) $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{(k-1)a_n+c\mathrm{/}{a}_n^{k-1}}{k}}\mathrm{.}$$右辺は $a_n$ を $k-1$ 個と $c\mathrm{/}{a}_n^{k-1}$ を1個並べた相加平均である。相加・相乗平均より$$a_{n+1}\geqq \sqrt[k]{a_n^{k-1}{\displaystyle \frac{c}{a_n^{k-1}}}}=r\mathrm{.}$$$a_n>r$ では各数は等しくないため不等号は厳密である。また$$a_n-a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n^k-c}{k{a}_n^{k-1}}}>0.$$従って$$r<a_{n+1}<a_n\mathrm{.}$$(2)
$k=3$, $u_n=a_n\mathrm{/}r>1$ とすると$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{2u_n^3+1}{3u_n^2}}$$であり$$u_{n+1}-1={\displaystyle \frac{(u_n-1{)}^2(2u_n+1)}{3u_n^2}}<(u_n-1{)}^2\mathrm{.}$$両辺に $r$ を掛けて$$a_{n+1}-r<{\displaystyle \frac{(a_n-r{)}^2}{r}}\mathrm{.}$$(3)$$e_n=a_n-\sqrt[3]{2}$$ とおくと$$e_5<{\displaystyle \frac{e_1^{16}}{r^{15}}}\mathrm{.}$$${1.2}^3<2<{1.3}^3$ だから $0<e_1<0.1$、また$$r^{15}=(r^3{)}^5=2^5\mathrm{.}$$従って$$a_5-\sqrt[3]{2}<{\displaystyle \frac{(0.1{)}^{16}}{2^5}}={\displaystyle \frac{1}{2^5\cdot {10}^{16}}}\mathrm{.}$$\Needspace{9cm}