九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f(x)$ は上に開く二次関数である。二つの実数解を $\alpha \leqq \beta$ とすると，$\alpha \leqq 1\leqq \beta$ であることは，$x=1$ が二つの根の間にあることと同じである。したがって条件は $f(1)\leqq 0$ である。

実際に計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(1)}& {\displaystyle =1-2k+{\displaystyle \frac{1}{5}}(2k-1)(4k-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-2k+{\displaystyle \frac{1}{5}}(8k^2-10k+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{5}}(8k^2-20k+8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{5}}(2k-1)(k-2)\mathrm{.}}\end{array}$$よって ${\displaystyle \frac{4}{5}}(2k-1)(k-2)\leqq 0$ より ${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq k\leqq 2$ である。

(2)

平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^2-2kx+{\displaystyle \frac{1}{5}}(2k-1)(4k-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-k{)}^2-k^2+{\displaystyle \frac{1}{5}}(8k^2-10k+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-k{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{5}}(3k^2-10k+3)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $f(x)$ の最小値は $$g(k)={\displaystyle \frac{1}{5}}(3k^2-10k+3)$$ である。

(1) より ${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq k\leqq 2$ である。この範囲で $g(k)$ の値域を調べる。平方完成すると $$g(k)={\displaystyle \frac{3}{5}}{(k-{\displaystyle \frac{5}{3}})}^2-{\displaystyle \frac{16}{15}}\mathrm{.}$$ よって最小値は $k={\displaystyle \frac{5}{3}}$ のとき $-{\displaystyle \frac{16}{15}}$ である。最大値は端点で比較すればよく，$$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}({\displaystyle \frac{3}{4}}-5+3)=-{\displaystyle \frac{1}{4}},$$ また $$g(2)={\displaystyle \frac{1}{5}}(12-20+3)=-1$$ であるから，最大値は $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

したがって求める範囲は $$-{\displaystyle \frac{16}{15}}\leqq \min f(x)\leqq -{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

平方完成して根を頂点 $x=k$ の左右に表す。点 $x=1$ が2根の間にある条件を、頂点からの距離で評価する。その後、頂点値を $k$ の関数として閉区間上で調べる。

平方完成して$$f(x)=(x-k{)}^2+g(k),g(k)={\displaystyle \frac{3k^2-10k+3}{5}}$$とする。実数解をもつとき $g(k)\leqq 0$ で、2根は$$\alpha =k-\sqrt{-g(k)},\beta =k+\sqrt{-g(k)}$$である。

(1)
$\alpha \leqq 1\leqq \beta$ は$$\mathrm{\mid }1-k\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{-g(k)}$$と同値である。両辺は非負なので二乗して$$(1-k{)}^2+g(k)\leqq 0.$$左辺は $f(1)$ であり、$$f(1)={\displaystyle \frac{4}{5}}(2k-1)(k-2)\mathrm{.}$$従って$${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq k\leqq 2.$$この不等式から $g(k)\leqq 0$ も従うので、実根条件は満たされる。

(2)
$f$ の最小値は $g(k)$ である。$$g(k)={\displaystyle \frac{3}{5}}{(k-{\displaystyle \frac{5}{3}})}^2-{\displaystyle \frac{16}{15}}\mathrm{.}$$区間 $1\mathrm{/}2\leqq k\leqq 2$ で最小値は $-16\mathrm{/}15$。最大値は端点を比べ、$$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}},g(2)=-1$$より $-1\mathrm{/}4$ である。従って$$-{\displaystyle \frac{16}{15}}\leqq \underset{x}{\min }f(x)\leqq -{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$