九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

底面の直径は $AB=2$ であるから，底面の半径は $1$ である。高さは $\sqrt{3}$ なので，母線の長さは $$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2.$$ 側面の展開図は半径 $2$ の扇形である。扇形の弧長は底面円周 $2\pi$ に等しいから，中心角を $\varphi$ とすると $2\varphi =2\pi$ より $\varphi =\pi \mathrm{.}$ 点 $A,B$ は底面円で半周だけ離れているので，対応する弧長は $\pi$ である。展開図の半径は $2$ だから，展開図上での中心角は ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ である。したがって側面上の最短経路 $l$ は，展開図上で半径 $2$，中心角 $\pi \mathrm{/}2$ の弦となる。よって $$l=2\cdot 2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$ (2)

展開図上で，弧 $AQ$ に対応する底面での中心角が $\theta$ であるから，展開図上での中心角 $\mathrm{\angle }ACQ$ は $\theta \mathrm{/}2$ である。点 $P$ は直線 $AB$ と半直線 $CQ$ の交点なので，三角形 $CAP$ に注目する。

展開図で $CA=CB=2$，$\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$ であるから，$\mathrm{\angle }CAP={45}^{\circ }$ である。また $\mathrm{\angle }ACP=\theta \mathrm{/}2$ である。したがって$$\mathrm{\angle }CPA={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\theta }{2}}={135}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$正弦定理より$${\displaystyle \frac{CP}{\sin {45}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{CA}{\sin ({135}^{\circ }-\theta \mathrm{/}2)}}={\displaystyle \frac{2}{\sin ({135}^{\circ }-\theta \mathrm{/}2)}}\mathrm{.}$$ここで$$\sin ({135}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\theta }{2}})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})$$であるから $$CP={\displaystyle \frac{2}{\sin (\theta \mathrm{/}2)+\cos (\theta \mathrm{/}2)}}\mathrm{.}$$ したがって$$C{P}^2={\displaystyle \frac{4}{{(\sin (\theta \mathrm{/}2)+\cos (\theta \mathrm{/}2))}^2}}={\displaystyle \frac{4}{1+\sin \theta }}\mathrm{.}$$(3)

問題文の分母をそのまま $O{Q}^2$ と読むと，$OQ=1$，$OS=\cos \theta$ であるから $${\displaystyle \frac{O{S}^2}{O{Q}^2}}={\cos }^2\theta \mathrm{.}$$ 範囲が $$0^{\circ }<\theta \leqq {90}^{\circ }$$ なので，この値は $1$ にいくらでも近づくが，$\theta =0^{\circ }$ が含まれないため最大値は存在しない。

一方，垂線 $PR$ を定義していることから，設問意図は $O{S}^2\mathrm{/}O{R}^2$ の最大値を問うものと考えられる。この場合を求める。軸を含む断面で見ると，$OR$ は $CP$ の底面方向成分であり $$OR=CP\sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{CP}{2}}\mathrm{.}$$ (2) より $$O{R}^2={\displaystyle \frac{C{P}^2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{1+\sin \theta }}\mathrm{.}$$ また，底面で $A$ から $OQ$ へ下ろした垂線の足を $S$ としているから $OS=\cos \theta \mathrm{.}$ したがって，$t=\sin \theta$ とおくと $0<t\leqq 1$ で $${\displaystyle \frac{O{S}^2}{O{R}^2}}={\cos }^2\theta (1+\sin \theta )=(1-t^2)(1+t)\mathrm{.}$$ これを $F(t)=-t^3-t^2+t+1$ とおくと $$F^{\mathrm{\prime }}(t)=-3t^2-2t+1=-(t+1)(3t-1)\mathrm{.}$$ よって $0<t\leqq 1$ では $t=1\mathrm{/}3$ で最大となる。その値は$$F\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=(1-{\displaystyle \frac{1}{9}})(1+{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{8}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{32}{27}}\mathrm{.}$$

円錐の展開図に座標を入れる。頂点 $C$ を原点、展開図上の $A,B$ を座標軸上に置くと、最短路は直線 $AB$ になり、半直線 $CQ$ との交点を連立方程式で求められる。第(3)問は原典の印字どおりの場合と、定義された $R$ を使う設問意図の場合を分ける。

母線長は2、側面の展開図は半径2、中心角180度の半円である。展開図上で$$C=(0,0),A=(2,0),B=(0,2)$$と置ける。

(1)
最短路は弦 $AB$ だから$$l=AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$(2)
底面中心角が $\theta$ のとき、展開図上の角は $\theta \mathrm{/}2$ である。よって$$Q=2(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}},\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})\mathrm{.}$$$P$ は半直線 $CQ$ と直線 $AB:x+y=2$ の交点なので、$$P=tQ,2t(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})=2.$$従って$$CP=2t={\displaystyle \frac{2}{\cos (\theta \mathrm{/}2)+\sin (\theta \mathrm{/}2)}}$$であり、$$C{P}^2={\displaystyle \frac{4}{1+\sin \theta }}\mathrm{.}$$(3)
原典の印字どおりでは $OQ=1$, $OS=\cos \theta$ だから$${\displaystyle \frac{O{S}^2}{O{Q}^2}}={\cos }^2\theta \mathrm{.}$$$$0^{\circ }<\theta \leqq {90}^{\circ }$$ では上限は1だが、$\theta =0^{\circ }$ が含まれないので最大値は存在しない。

定義された点 $R$ を使う $O{S}^2\mathrm{/}O{R}^2$ が設問意図なら、相似より $OR=CP\mathrm{/}2$ である。$t=\sin \theta$ とおけば$${\displaystyle \frac{O{S}^2}{O{R}^2}}=(1-t^2)(1+t)$$となり、微分して $t=1\mathrm{/}3$ のとき最大値 $32\mathrm{/}27$ を得る。