九州大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

コーシー・シュワルツの不等式より$$({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})(a+b+c)\geqq {(\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{a}}}\sqrt{a}+\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{b}}}\sqrt{b}+\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{c}}}\sqrt{c})}^2$$である。右辺は $(1+1+1{)}^2=9$ である。$a+b+c>0$ なので両辺を $a+b+c$ で割って $${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\geqq {\displaystyle \frac{9}{a+b+c}}$$ を得る。

(2)

同様に、正の実数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ について$$\left(\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{x_i}}\right)\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\geqq {\left(\sum _{i=1}^n\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x_i}}}\sqrt{x_i}\right)}^2$$である。右辺は $(1+1+\cdots +1{)}^2=n^2$ である。$x_i>0$ だから$$\sum _{i=1}^n{x}_i>0$$であり、これで割ると$$\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{x_i}}\geqq {\displaystyle \frac{n^2}{\sum _{i=1}^n{x}_i}}$$となる。

積を展開して、左辺と右辺の差を平方和へ直す。
3変数でも一般の $n$ 変数でも同じ恒等式が成り立ち、
非負性から直ちに結論する。

(1) $$(a+b+c)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})-9={\displaystyle \frac{(a-b{)}^2}{ab}}+{\displaystyle \frac{(b-c{)}^2}{bc}}+{\displaystyle \frac{(c-a{)}^2}{ca}}\geqq 0.$$$a+b+c>0$ で割れば$${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\geqq {\displaystyle \frac{9}{a+b+c}}\mathrm{.}$$(2)
一般に$$\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{x_i}}\right)-n^2=\sum _{1\leqq i<j\leqq n}({\displaystyle \frac{x_i}{x_j}}+{\displaystyle \frac{x_j}{x_i}}-2)\mathrm{.}$$各括弧は$${\displaystyle \frac{(x_i-x_j{)}^2}{x_i{x}_j}}\geqq 0$$である。したがって積は $n^2$ 以上であり、
正の$$\sum x_i$$で割って$$\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{x_i}}\geqq {\displaystyle \frac{n^2}{\sum _{i=1}^n{x}_i}}\mathrm{.}$$等号は全ての $x_i$ が等しいときである。