九大 2015年度理系（後期）数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $u = x y$ とおけば $0 ≦ u ≦ 1$ で、 $u$ と $1 - u$ の大きい方を最小にする問題になる。(2) は最大値を $M$ とおき、 $x ≦ M, y ≦ M$ から $x y ≦ M^{2}$ 、さらに $1 - x y ≦ M$ から下限を作る。得られた下限を実際に達成する $x = y$ を提示して最小値を確定する。

解答

(1) $u = x y$ とおく。 $0 ≦ x ≦ 1$ 、 $0 ≦ y ≦ 1$ なので $0 ≦ u ≦ 1$ である。考える量は $\max (u, 1 - u)$ である。 $u ≧ 1 / 2$ のときは $\max (u, 1 - u) = u ≧ 1 / 2$ であり、 $u ≦ 1 / 2$ のときは $\max (u, 1 - u) = 1 - u ≧ 1 / 2$ である。したがって常に $\max (u, 1 - u) ≧ \frac{1}{2}$ である。

一方、例えば $x = 1, y = \frac{1}{2}$ とすれば $u = x y = 1 / 2$ となり、 $\max (x y, 1 - x y) = \max (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ である。よって最小値は $\frac{1}{2}$ である。

(2) $M = \max (x y, 1 - x y, x, y)$ とおく。このとき $x ≦ M, y ≦ M$ であり、 $x, y ≧ 0$ なので $x y ≦ M^{2}$ である。また $1 - x y ≦ M$ だから $1 - M^{2} ≦ 1 - x y ≦ M$ とは限らない点に注意し、 $x y ≦ M^{2}$ から $1 - x y ≧ 1 - M^{2}$ を得る。さらに $1 - x y ≦ M$ であるから $1 - M^{2} ≦ M$ が必要である。

したがって $M^{2} + M - 1 ≧ 0$ である。 $M ≧ 0$ なので、この不等式から $M ≧ \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ を得る。つまり、どのような $x, y$ に対しても $\max (x y, 1 - x y, x, y) ≧ \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ である。

次に、この値が実際に達成されることを確認する。 $λ = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ とおく。 $λ$ は $λ^{2} + λ - 1 = 0$ を満たすので $1 - λ^{2} = λ$ である。ここで $x = y = λ$ とすれば $x y = λ^{2}, 1 - x y = 1 - λ^{2} = λ, x = y = λ$ である。さらに $0 < λ < 1$ であるから条件を満たしている。このとき $\max (x y, 1 - x y, x, y) = \max (λ^{2}, λ, λ, λ) = λ$ である。

よって最小値は $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ である。

総評

難度4、計算量3。目安時間は12分。最大値の最小化では、まず最大値を $M$ と置いて必要条件から下限を作るのが有効である。(2) では $x, y ≦ M$ から $x y ≦ M^{2}$ を得て、 $1 - x y ≦ M$ と組み合わせるのが核心である。下限を出しただけでは不十分で、 $x = y = (\sqrt{5} - 1) / 2$ が実際に達成することまで確認して最小値が確定する。 $1 - M^{2} ≦ M$ の向きは誤りやすいので、 $x y ≦ M^{2}$ から丁寧に導くとよい。

出典: 九州大学 2015年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

方針

解答

総評

九州大学 2015年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問