九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $u=x+1$ とおく。すると $x=u-1$ であり、$$x^2+\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+n-1=(u-1{)}^2+\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+n-1=u^2-2u+\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+n$$ である。方程式は $$a\{u^2-2u+\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+n\}=\sqrt{n}u$$ となる。

まず $u\geqq 0$ の場合を考える。このとき $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=u$ なので $$a(u^2-u+n)=\sqrt{n}u$$ である。分母 $u^2-u+n$ は $n\geqq 1$ で常に正であるから、$${\displaystyle a=\frac{\sqrt{n}u}{u^2-u+n}(u\geqq 0)}$$ と表せる。

右辺を $F(u)$ とおくと、$$F^{\mathrm{\prime }}(u)=\sqrt{n}\frac{(u^2-u+n)-u(2u-1)}{(u^2-u+n{)}^2}=\sqrt{n}\frac{n-u^2}{(u^2-u+n{)}^2}$$である。したがって $F(u)$ は $$0\leqq u\leqq \sqrt{n}$$ で増加し、$$u\geqq \sqrt{n}$$ で減少する。さらに $F(0)=0$、$u\to \mathrm{\infty }$ で $F(u)\to 0$ である。最大値は $$u=\sqrt{n}$$ のとき $${\displaystyle F(\sqrt{n})=\frac{n}{2n-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}}$$ である。よって $u\geqq 0$ から得られる $a$ の範囲は $${\displaystyle 0\leqq a\leqq \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}}$$ である。

次に $u<0$ の場合を考える。$v=-u>0$ とおくと、$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=v$ であり、方程式は $$a(v^2+3v+n)=-\sqrt{n}v$$ となる。したがって $${\displaystyle a=-\frac{\sqrt{n}v}{v^2+3v+n}(v>0)}$$ である。

正の関数 $${\displaystyle G(v)=\frac{\sqrt{n}v}{v^2+3v+n}}$$ を考えると、$${\displaystyle G^{\mathrm{\prime }}(v)=\sqrt{n}\frac{n-v^2}{(v^2+3v+n{)}^2}}$$ である。よって $G(v)$ は $$v=\sqrt{n}$$ で最大となり、その最大値は $${\displaystyle G(\sqrt{n})=\frac{n}{2n+3\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}}$$ である。$v>0$ であるから、$a$ は負の値を取り、0には近づくがこの場合だけでは0を取らない。したがって $u<0$ から得られる範囲は $${\displaystyle -\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}\leqq a<0}$$ である。

2つの場合を合わせ、$u=0$ の場合に $a=0$ も含まれるので、求める範囲は $${\displaystyle -\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}\leqq a\leqq \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}}$$ である。

(2)
すべての自然数 $n$ に対して実数解を持つには、(1)で得たすべての区間に $a$ が含まれればよい。つまり $${\displaystyle -\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}\leqq a\leqq \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}}$$ がすべての自然数 $n$ で成り立つ必要がある。

左端について、$$t=\sqrt{n}\geqq 1$$ とおくと ${\displaystyle \frac{t}{2t+3}}$ は $t$ が大きくなるほど増加する。したがって ${\displaystyle -\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}}$ は $n=1$ のときが最大であり、最大値は ${\displaystyle -\frac{1}{5}}$ である。よってすべての $n$ で左側の条件をみたすには $${\displaystyle a\geqq -\frac{1}{5}}$$ が必要十分である。

右端について、${\displaystyle \frac{t}{2t-1}(t\geqq 1)}$ は $t$ が大きくなるほど減少し、$${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{t}{2t-1}=\frac{1}{2}}$$ である。各 $n$ では右端は $1\mathrm{/}2$ より大きいが、すべての $n$ で $a$ が右端以下であるためには $${\displaystyle a\leqq \frac{1}{2}}$$ が必要十分である。

以上より、求める $a$ の範囲は $${\displaystyle -\frac{1}{5}\leqq a\leqq \frac{1}{2}}$$ である。