九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
円は $x^2+y^2=1$ であり、放物線は $y=-a{x}^2+b$ である。放物線の式から $$x^2={\displaystyle \frac{b-y}{a}}$$ である。これを円の式に代入すると $${\displaystyle \frac{b-y}{a}}+y^2=1$$ すなわち $a{y}^2-y+b-a=0$ である。

放物線が円に異なる2点で接するには、この $y$ についての2次方程式が重解をもつ必要がある。判別式を0にして $1-4a(b-a)=0$ だから $b=a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$ である。重解は $$y={\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ である。したがって接点は $(\pm \sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}},{\displaystyle \frac{1}{2a}})$ である。異なる2点で接するためには平方根の中が正でなければならないので $a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2)
放物線が $x$ 軸と交わる点は $-a{x}^2+b=0$ より $$x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}$$ である。求める領域を $y$ 軸のまわりに回す。左右対称なので、右半分の縦細片を回転させる円筒殻で考えると$$V=2\pi {\int }_0^{\sqrt{b\mathrm{/}a}}x(-a{x}^2+b)dx$$である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {[-{\displaystyle \frac{a}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{b}{2}}{x}^2]}_0^{\sqrt{b\mathrm{/}a}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi (-{\displaystyle \frac{a}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{b}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{a}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi b^2}{2a}}}\end{array}$$である。$b=a+1\mathrm{/}(4a)$ を代入して $$V={\displaystyle \frac{\pi }{2a}}{(a+{\displaystyle \frac{1}{4a}})}^2$$ である。

(3) $$V={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}+{\displaystyle \frac{1}{16a^3}})$$ である。$a>1\mathrm{/}2$ で微分すると $$V^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{2a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{16a^4}})$$ である。$V^{\mathrm{\prime }}=0$ は $16a^4-8a^2-3=0$ であり、$u=a^2$ とおくと $16u^2-8u-3=0$ である。正の解は $u={\displaystyle \frac{3}{4}}$ なので $$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。$a>1\mathrm{/}2$ で $V^{\mathrm{\prime }}$ はこの点の前で負、後で正となるので、ここで最小値をとる。

このとき $$b=a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ である。また$$V_{\min }={\displaystyle \frac{\pi b^2}{2a}}={\displaystyle \frac{\pi \cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{4\pi }{3\sqrt{3}}}$$である。

接点 $(u,v)$ で円と放物線の接線の傾きを一致させる。
体積は水平断面の円板で求め、最後は1変数の微分へ帰着する。

(1)
接点を $(u,v)$ とする。異なる2接点なので $u\mathrm{\ne }0$ である。
円の接線の傾きは $-u\mathrm{/}v$、放物線の接線の傾きは $-2au$ だから$$v={\displaystyle \frac{1}{2a}}\mathrm{.}$$$u^2+v^2=1$ より$$u=\pm \sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}},$$従って $a>1\mathrm{/}2$ である。また$$b=v+a{u}^2=a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\mathrm{.}$$(2)
高さ $y$ の水平断面を回転すると、半径
$\sqrt{(b-y)\mathrm{/}a}$ の円板になる。よって$$V=\pi {\int }_0^b{\displaystyle \frac{b-y}{a}}dy={\displaystyle \frac{\pi b^2}{2a}}={\displaystyle \frac{\pi }{2a}}{(a+{\displaystyle \frac{1}{4a}})}^2\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{2V}{\pi }}=a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}+{\displaystyle \frac{1}{16a^3}}\mathrm{.}$$微分すると停留条件は$$16a^4-8a^2-3=0.$$$a>1\mathrm{/}2$ にある解は$$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$導関数はこの点の前後で負から正へ変わるので最小である。$$b={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}},V_{\min }={\displaystyle \frac{4\pi }{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$