九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $t<1$ で $${\displaystyle \frac{1}{1-t}}=1+t+t^2+\cdots +t^{n-1}+{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}$$ が成り立つ。これを $0$ から $x$ まで積分すると$${\int }_0^x{\displaystyle \frac{1}{1-t}}dt=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k}}+{\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt$$である。左辺は $-\log (1-x)$ であり、中央の和は $f(x)$ である。したがって $$f(x)=-\log (1-x)-{\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt$$ である。

(2)
(i) $0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}3$ とする。この範囲では $0\leqq t\leqq x\leqq 1\mathrm{/}3$ なので $${\displaystyle \frac{1}{1-t}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1-1\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。よって$$0\leqq {\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_0^x{t}^{n}dt={\displaystyle \frac{3x^{n+1}}{2(n+1)}}$$である。

(ii) $-1\mathrm{/}3\leqq x<0$ とする。積分区間の向きに注意すると$$\mid {\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt\mid =\mid {\int }_x^0{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt\mid \leqq {\int }_x^0{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }t{\mathrm{\mid }}^n}{\mathrm{\mid }1-t\mathrm{\mid }}}dt$$である。$t\leqq 0$ では $\mathrm{\mid }1-t\mathrm{\mid }=1-t\geqq 1$ だから$$\mid {\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt\mid \leqq {\int }_x^0\mathrm{\mid }t{\mathrm{\mid }}^{n}dt={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{n+1}}$$である。

(iii) (1)を $x$ と $-x$ に適用する。 $$f(x)=-\log (1-x)-{\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt$$ であり、$$f(-x)=-\log (1+x)-{\int }_0^{-x}{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt$$ である。差を取ると$$f(x)-f(-x)-\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}=-{\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt+{\int }_0^{-x}{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt$$である。

右辺の絶対値は、(i)(ii)の評価を合わせて$${\displaystyle \frac{3\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{2(n+1)}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{5\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{2(n+1)}}$$以下である。したがって$$\mid f(x)-f(-x)-\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}\mid \leqq {\displaystyle \frac{5\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{2(n+1)}}$$である。

(3) $${\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}=2$$ となる $x$ は $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。$n=3$ とすると、(2)(iii)より誤差は $${\displaystyle \frac{5(1\mathrm{/}3{)}^4}{2(3+1)}}={\displaystyle \frac{5}{648}}<{\displaystyle \frac{1}{100}}$$ である。

このとき $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)-f(-{\displaystyle \frac{1}{3}})$ では偶数次の項が消え、奇数次の項だけが2倍される。$n=3$ だから$$f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)-f(-{\displaystyle \frac{1}{3}})=2({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3)=2({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{81}})={\displaystyle \frac{56}{81}}$$である。よって $\log 2\simeq {\displaystyle \frac{56}{81}}$ とすれば、誤差は $1\mathrm{/}100$ 以下である。

有限等比級数を積分して誤差項を得る。
$\log 2$ については $x=1\mathrm{/}3$ の奇数次級数を直接用い、
残りを等比級数で上から抑える。

(1) $${\displaystyle \frac{1}{1-t}}=\sum _{j=0}^{n-1}{t}^j+{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}$$を0から $x<1$ まで積分すると$$-\log (1-x)=f(x)+{\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt,$$従って所要の式を得る。

(2)
$0\leqq t\leqq x\leqq 1\mathrm{/}3$ では$${\displaystyle \frac{1}{1-t}}\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$$だから$${\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt\leqq {\displaystyle \frac{3x^{n+1}}{2(n+1)}}\mathrm{.}$$$-1\mathrm{/}3\leqq x<0$ では $1-t\geqq 1$ より$$\mid {\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^n}{1-t}}dt\mid \leqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{n+1}}\mathrm{.}$$(1)を $x,-x$ へ適用して三角不等式を使えば$$\mid f(x)-f(-x)-\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}\mid \leqq {\displaystyle \frac{5\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{2(n+1)}}\mathrm{.}$$(3)$$\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}=2\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^{2j+1}}{2j+1}}(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1)$$である。$x=1\mathrm{/}3$ とし、最初の2項を取ると$$2({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 3^3}})={\displaystyle \frac{56}{81}}\mathrm{.}$$残りは$$0<2\sum _{j=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(1\mathrm{/}3{)}^{2j+1}}{2j+1}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{5}}\sum _{j=2}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{2j+1}={\displaystyle \frac{1}{540}}<{\displaystyle \frac{1}{100}}\mathrm{.}$$よって $\log 2$ の所要の近似分数は $56\mathrm{/}81$ である。