九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式理系数学 第4問(c)

(1) $P=(x,y,z)$ とおく。このとき $$\overrightarrow{AP}=(x-a,y,z)$$ であり、$$\overrightarrow{BP}=(x,y-b,z),\overrightarrow{CP}=(x,y,z-c)$$ だから $$\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}=(3x,3y-b,3z-2c)$$ である。よって条件は $$(x-a)3x+y(3y-b)+z(3z-2c)=0$$ すなわち $$3x^2+3y^2+3z^2-3ax-by-2cz=0$$ である。3で割って平方完成すると $$x^2+y^2+z^2-ax-{\displaystyle \frac{b}{3}}y-{\displaystyle \frac{2c}{3}}z=0$$ より$${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{b}{6}})}^2+{(z-{\displaystyle \frac{c}{3}})}^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{36}}+{\displaystyle \frac{c^2}{9}}$$となる。したがって $P$ は定点 $$Q=({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{6}},{\displaystyle \frac{c}{3}})$$ から一定距離 $$R=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{36}}+{\displaystyle \frac{c^2}{9}}}$$ にある。

(2)
3点 $A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$ を通る平面は $${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1$$ である。$a,b,c$ は0でないので、この式は有効である。$Q$ を代入すると $${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=1$$ となる。よって $Q$ は平面 $ABC$ 上にある。

(3)
底面 $\mathrm{△}ABC$ の面積を求める。 $$\overrightarrow{AB}=(-a,b,0),\overrightarrow{AC}=(-a,0,c)$$ であるから、底面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}$ である。

(2) より、球の中心 $Q$ は底面の平面上にある。したがって球面上の点 $P$ から平面 $ABC$ までの距離の最大値は、球の半径 $$R=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{36}}+{\displaystyle \frac{c^2}{9}}}$$ である。よって四面体の体積の最大値は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{36}}+{\displaystyle \frac{c^2}{9}}}$$すなわち$${\displaystyle \frac{1}{6}}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{36}}+{\displaystyle \frac{c^2}{9}}}$$である。

座標成分を個別に展開せず、互いに直交する
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を用いる。
球の中心をアフィン結合として読めば、平面条件も直ちに従う。

位置ベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。
3点は座標軸上にあるから相互に直交する。従って$$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (3\vec{p}-\vec{b}-2\vec{c})=0$$は$$3\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-\vec{p}\cdot (3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})=0$$となる。$$\vec{q}={\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{c}$$とおけば$$\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{q}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{q}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$(1)$$Q=({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{6}},{\displaystyle \frac{c}{3}}),\rho =\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{36}}+{\displaystyle \frac{c^2}{9}}}$$であり、軌跡は中心 $Q$、半径 $\rho$ の球面である。

(2)
$\vec{q}$ における $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数の和は1なので、
$Q$ は平面 $ABC$ 上にある。

(3) $$[\mathrm{△}ABC]={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}\mathrm{.}$$中心が底面上にあるため、球面上の点から平面までの距離の最大値は
$\rho$ である。従って最大体積は$${\displaystyle \frac{1}{6}}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{36}}+{\displaystyle \frac{c^2}{9}}}\mathrm{.}$$