九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 確率・データの分析理系数学 第5問(a)

(1)
苗の高さを $X$ とする。$m=10$、$\sigma =1.5$ なので $$U={\displaystyle \frac{X-10}{1.5}}$$ は標準正規分布に従う。間引かれない条件は $7.3\leqq X\leqq 13.0$ である。これを標準化すると $${\displaystyle \frac{7.3-10}{1.5}}=-1.8,{\displaystyle \frac{13.0-10}{1.5}}=2.0$$ だから $$P(7.3\leqq X\leqq 13.0)=P(-1.8\leqq U\leqq 2.0)$$ である。正規分布表より$$P(-1.8\leqq U\leqq 2.0)=P(0\leqq U\leqq 1.8)+P(0\leqq U\leqq 2.0)=0.4641+0.4772=0.9413$$である。したがって間引かれる確率は $1-0.9413=0.0587$ である。

(2)
信頼区間 $[9.81,10.79]$ の中心が標本平均である。したがって $$\bar{x}={\displaystyle \frac{9.81+10.79}{2}}=10.30$$ である。また半幅は $10.79-10.30=0.49$ である。母標準偏差が $1.5$ と分かっているので、信頼度95％の信頼区間の半幅は $1.96\cdot {\displaystyle \frac{1.5}{\sqrt{n}}}$ である。よって $$1.96\cdot {\displaystyle \frac{1.5}{\sqrt{n}}}=0.49$$ であり、$$\sqrt{n}={\displaystyle \frac{1.96\cdot 1.5}{0.49}}=6$$ となる。したがって $n=36$ である。

(3)
種子の種類を $X$、花の色を $Y$ とする。表では $X=1$ が8個、$X=0$ が2個であるから $$\bar{X}={\displaystyle \frac{8}{10}}=0.8$$ である。また $Y=1$ は6個なので $$\bar{Y}={\displaystyle \frac{6}{10}}=0.6$$ である。さらに $XY=1$ となるのは、$X=1$ かつ $Y=1$ の6個であるから $$\overline{XY}={\displaystyle \frac{6}{10}}=0.6$$ である。

したがって共分散は $$\overline{XY}-\bar{X}\bar{Y}=0.6-0.8\cdot 0.6=0.12$$ である。0-1データでは $X^2=X$、$Y^2=Y$ なので $${\sigma }_X=\sqrt{0.8-{0.8}^2}=\sqrt{0.16}=0.4$$ であり、$${\sigma }_Y=\sqrt{0.6-{0.6}^2}=\sqrt{0.24}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{5}}$$ である。よって相関係数は$${\displaystyle \frac{0.12}{0.4\cdot \sqrt{6}\mathrm{/}5}}={\displaystyle \frac{3\mathrm{/}25}{2\sqrt{6}\mathrm{/}25}}={\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$である。

(1) (2)は標準化と信頼区間の中心・半幅を使う。
(3)は0–1データの相関係数を、2×2分割表の $\varphi$ 係数として直接計算する。

(1) $$U={\displaystyle \frac{X-10}{1.5}}$$とすると、残す範囲は $-1.8\leqq U\leqq 2.0$ である。$$P(-1.8\leqq U\leqq 2.0)=0.4641+0.4772=\mathrm{0.9413.}$$従って間引かれる確率は$$1-0.9413=\mathrm{0.0587.}$$(2)
区間の中心と半幅から$$\bar{x}={\displaystyle \frac{9.81+10.79}{2}}=10.30,0.49={\displaystyle \frac{1.96\cdot 1.5}{\sqrt{n}}}\mathrm{.}$$従って $$\sqrt{n}=6$$、すなわち $n=36$ である。

(3)
2×2分割表の度数は$$\begin{array}{ccc}& Y=1& Y=0\\ X=1& 6& 2\\ X=0& 0& 2\end{array}$$である。0–1変数の相関係数は $\varphi$ 係数に等しいから$$r={\displaystyle \frac{6\cdot 2-2\cdot 0}{\sqrt{(6+2)(0+2)(6+0)(2+2)}}}={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{384}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}\mathrm{.}$$