九州大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

漸化式 $a_n=2a_{n-1}+n-3$ から一般項を求める。まず答えの形として $a_n=2^{n-1}-n+1$ を示す。 $n=1$ のとき、右辺は $2^0-1+1=1$ であり、$a_1=1$ と一致する。

ある $n-1$ で $$a_{n-1}=2^{n-2}-(n-1)+1=2^{n-2}-n+2$$ が成り立つとする。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =2a_{n-1}+n-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(2^{n-2}-n+2)+n-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{n-1}-2n+4+n-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{n-1}-n+1.}\end{array}$$したがってすべての自然数 $n$ について $a_n=2^{n-1}-n+1$ である。

(2) $$P_k=\sum _{n=k}^{2k}{a}_n=\sum _{n=k}^{2k}(2^{n-1}-n+1)$$である。まず等比数列の和は$$\sum _{n=k}^{2k}{2}^{n-1}=2^{k-1}+2^k+\cdots +2^{2k-1}=2^{2k}-2^{k-1}$$である。

また、$k$ から $2k$ までの項数は $k+1$ 個なので$$\sum _{n=k}^{2k}n={\displaystyle \frac{(k+2k)(k+1)}{2}}={\displaystyle \frac{3k(k+1)}{2}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_k}& {\displaystyle =(2^{2k}-2^{k-1})-{\displaystyle \frac{3k(k+1)}{2}}+(k+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{2k}-2^{k-1}-{\displaystyle \frac{3k^2+k}{2}}+1}\end{array}$$である。

(3)

(1) より $$2^{k-1}-a_k=2^{k-1}-(2^{k-1}-k+1)=k-1$$ である。したがって $2^{k-1}-a_k\leqq 25$ は $k-1\leqq 25$ すなわち $k\leqq 26$ と同値である。

また(2)より $$2^{2k}-2^{k-1}-P_k={\displaystyle \frac{3k^2+k}{2}}-1$$ である。したがって $2^{2k}-2^{k-1}-P_k\geqq 25$ は ${\displaystyle \frac{3k^2+k}{2}}-1\geqq 25$ すなわち $3k^2+k-52\geqq 0$ と同値である。左辺は $3k^2+k-52=(k-4)(3k+13)$ である。$k>1$ では $3k+13>0$ なので、この条件は $k\geqq 4$ となる。

よって2つの不等式が同時に成立する整数 $k>1$ は $4\leqq k\leqq 26$ である。したがって、2つの不等式が同時には成立しない整数 $k>1$ の範囲は $$2\leqq k\leqq 3,27\leqq k$$ である。

二条件の成立範囲

$b_n=a_n+n-1$ と置くと、非斉次項が消えて $b_n=2b_{n-1}$ になる。一般項を得た後は区間和を計算し、二つの不等式が同時に成立する範囲の補集合を取る。

(1) $$b_n=a_n+n-1$$と置くと$$b_n=2a_{n-1}+2n-4=2b_{n-1},b_1=1.$$よって $b_n=2^{n-1}$ であり$$a_n=2^{n-1}-n+1.$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_k}& {\displaystyle =\sum _{n=k}^{2k}(2^{n-1}-n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{2k}-2^{k-1}-{\displaystyle \frac{3k^2+k}{2}}+1.}\end{array}$$(3)
第一の不等式は$$k-1\leqq 25⟺k\leqq 26,$$第二の不等式は$${\displaystyle \frac{3k^2+k}{2}}-1\geqq 25⟺(k-4)(3k+13)\geqq 0⟺k\geqq 4.$$したがって二条件の同時成立範囲は $4\leqq k\leqq 26$。整数 $k>1$ で同時成立しない範囲は$$2\leqq k\leqq 3,k\geqq 27$$である。