九州大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $b_n=1\mathrm{/}{a}_n$ とおくと$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{5a_n+c}{2a_n}}={\displaystyle \frac{c}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{c}{2}}{b}_n+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$である。したがって $$p={\displaystyle \frac{c}{2}},q={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

(2) $b_1=1$ であり，$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{c}{2}}{b}_n+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。$0\leqq c<2$ より $c\mathrm{/}2\mathrm{\ne }1$ なので，定数解 $B$ を $$B={\displaystyle \frac{c}{2}}B+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ で求めると $B={\displaystyle \frac{5}{2-c}}$ である。したがって $$b_{n+1}-B={\displaystyle \frac{c}{2}}(b_n-B)$$ より $$b_n-B={\left({\displaystyle \frac{c}{2}}\right)}^{n-1}(b_1-B)$$ である。ここで $$b_1-B=1-{\displaystyle \frac{5}{2-c}}=-{\displaystyle \frac{3+c}{2-c}}$$ だから$$b_n={\displaystyle \frac{5}{2-c}}-{\displaystyle \frac{3+c}{2-c}}{\left({\displaystyle \frac{c}{2}}\right)}^{n-1}={\displaystyle \frac{5-(3+c){\left({\displaystyle \frac{c}{2}}\right)}^{n-1}}{2-c}}$$である。よって $$a_n={\displaystyle \frac{2-c}{5-(3+c){\left({\displaystyle \frac{c}{2}}\right)}^{n-1}}}$$ である。

(3) $0\leqq c<2$ より $$0\leqq {\displaystyle \frac{c}{2}}<1$$ であるから ${\left({\displaystyle \frac{c}{2}}\right)}^{n-1}\to 0$ である。したがって(2)の式より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{2-c}{5}}$$ である。

一般項の分母の確認

$0\leqq c<2$ では $0\leqq c\mathrm{/}2<1$ である。$n=1$ のとき分母は $2-c>0$ であり，$n$ が増えると $(c\mathrm{/}2{)}^{n-1}$ は増加しないため，$$5-(3+c){\left({\displaystyle \frac{c}{2}}\right)}^{n-1}>0$$である。したがって得た一般項はすべての $n$ で定義され，逆数を取る操作も正当である。