九州大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

直線 $l$ は $y=-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$ すなわち $x+y-{\displaystyle \frac{5}{2}}=0$ である。点 $P(p,{\displaystyle \frac{1}{p}})$ からこの直線までの距離が $PQ$ であるから、点と直線の距離公式より$$PQ={\displaystyle \frac{\mid p+{\displaystyle \frac{1}{p}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\mid }{\sqrt{1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{\mid p+{\displaystyle \frac{1}{p}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\mid }{\sqrt{2}}}$$である。

(2)

まず交点を求める。曲線 $C$ と直線 $l$ の交点では ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。$x>0$ なので両辺に $x$ を掛けると $1=-x^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}x$ すなわち $2x^2-5x+2=0$ である。よって $(2x-1)(x-2)=0$ となり、交点の $x$ 座標は $x={\displaystyle \frac{1}{2}},x=2$ である。 ${\displaystyle \frac{1}{2}}<x<2$ では、例えば $x=1$ で $$-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{1}{x}}=1$$ なので、直線 $l$ が曲線 $C$ より上にある。したがって囲まれた領域は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 2,{\displaystyle \frac{1}{x}}\leqq y\leqq -x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

領域内の点 $(x,y)$ から軸 $l$ までの距離は $$r={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}-x-y}{\sqrt{2}}}$$ である。面積の小片 $dA$ を軸 $l$ のまわりに回転すると、半径 $r$ の薄い輪を作るので、その体積は $2\pi rdA$ と考えられる。よって体積 $V$ は$$V=2\pi {\int }_{1\mathrm{/}2}^2{\int }_{1\mathrm{/}x}^{-x+5\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}-x-y}{\sqrt{2}}}dydx$$である。

内側を計算する。$H=-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ とおくと、$y=1\mathrm{/}x$ から直線までの縦方向の差が $H$ であり、$${\int }_{1\mathrm{/}x}^{-x+5\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{5}{2}}-x-y)dy={\displaystyle \frac{1}{2}}{(-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{H}^2$$である。したがって$$V={\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{2}}}{\int }_{1\mathrm{/}2}^2{(-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{2}dx$$である。

ここで$${(-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2=x^2-5x+{\displaystyle \frac{33}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$なので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}2}^2{(-x+{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{2}dx}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{33}{4}}x-5\log x-{\displaystyle \frac{1}{x}}]}_{1\mathrm{/}2}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{57}{8}}-10\log 2.}\end{array}$$よって$$V={\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{2}}}({\displaystyle \frac{57}{8}}-10\log 2)=\sqrt{2}\pi ({\displaystyle \frac{57}{16}}-5\log 2)$$である。

曲線と回転軸